知识必备09 圆（3大模块知识清单+4种方法清单+16个考试清单真题专练）-【口袋书】2024年中考数学一轮复习知识清单

知识必备09 圆 方法1：圆中最值问题 一．选择题（共2小题） 1．（2023•江南区校级三模）如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作．点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接．在点运动的过程中，长度的最大值是　　 A． B． C． D． 【分析】连接，，通过证明△可推出的轨迹是以为圆心，2为半径的圆上，从而求出取到最大值时的位置，结合勾股定理从而可求出的最大值． 【解答】解：连接，， ， ， ，， △． ， 在以为圆心，2为半径的圆上， 连接，则当在的延长线上时，最长， 此时， 故选：． 【点评】本题主要考查了圆外一点到圆上一点的最大距离．本题的做题关键是通过全等来推出动点的轨迹． 2．（2023•明光市二模）如图，正方形的边长为2，点是射线上一个动点，点在上，且满足，则线段的最小值为　　 A． B．1 C． D． 【分析】根据已知证明，再证出，，说明点的运动轨迹是在以为直径的圆上，再根据点圆关系求出最值即可． 【解答】解：如图，连接， ，且， ， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是在以为直径的圆上， 如图，取中点，连接交于，则此时最小， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的性质等知识点的应用，点圆关系取最值的应用是解题关键． 二．填空题（共6小题） 3．（2023•南海区校级模拟）如图，点的坐标为，点的坐标为，点、点关于原点对称，点是平面上一点，且满足，则线段的最小值为 　3　． 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，作出以为直径作，连接与交于点，此时的值最小，再根据点的坐标求出的长，即可得到答案． 【解答】解：如图，以为直径作，连接与交于点，过点作轴于点， 此时满足，的值最小， 点的坐标是， ， 点的坐标为， ， ， ． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了点和圆的位置关系，准确找到点的位置是解题的关键．掌握：直径所对的圆周角是直角． 4．（2023•红旗区二模）如图，四边形中，，，，点是四边形内的一个动点，满足，连接、，则面积的最小值为 　　． 【分析】取的中点．连接，过点作于点，过点作于点，交于点，则，根据垂线段最短可知，当，，三点共线时，的值最小，从而求得面积的最小值． 【解答】解：取的中点．连接，过点作于点，过点作于点，交于点， 则， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 当，，三点共线时，的值最小，最小值为， 面积的最小值是：． 故答案为：． 【点评】本题考查了直径所对的圆周角是直角，垂线段最短，以及解直角三角形，解题的关键是学会用转化思想思考问题． 5．（2023•浙江模拟）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？ （1）如图①，圆锥的母线长为，为母线的中点，点在底面圆周上，的长为，则蚂蚁从点爬行到点的最短路径长为 　　（结果保留根号）； （2）如图②中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成，点在圆柱的底面圆周上，点在母线上，当蚂蚁从点以最短路径爬行到点时与圆锥底面交于点．若母线长为，圆柱的高为， 的长为，的长为 则蚂蚁从点爬行到点的最短路径长为 　　取． 【分析】（1）先判断出为等边三角形，进而得出上等边三角形的高，即可得出结论； （2）根据题意画出示意图，分别求出和的长，然后再求得长． 【解答】解：（1）如图③，将圆锥的侧面展开，连接，，．设． 的长为， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 最短的路径是线段，最短路径的长为． 故答案为：； （2）将圆锥与圆柱的侧面展开蚂蚁从点爬行到点的最短路径的示意图如图④，最短路径为线段． 设与圆柱的展开图的上边的交点记作点，连接，并过点作，垂足为， 由题可知，，， 的长为， 展开后的线段． 母线长为，设， ， ， ， 作，垂足为， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了平面展开最短路径问题，弧长公式，勾股定理，圆柱和圆锥的侧面展开图，等边三角形的判定和性质，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 6．（2023•西峡县一模）如图，点是正方形边上一动点（点不与点、重合），连接，过点作交于，垂足为，连接，已知正方形的边长为2，则的最小值为 　　． 【分析】以为直径作，连接，交为点，根据点圆最值的性质，则为最小距离，再根据勾股定理计算即可． 【解答】解：， 点的运动轨迹是以为直径的圆上一段圆弧上， 如图，取中点，连接，交为点，则为所求， 正方形的边长为2， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的性质的应用，点圆最值的应用是解题关键． 7．（2023•龙岗区校级模拟）如图，在矩形中，，，为边上一动点，为中点，为上一点，，则的最小值为 　　． 【分析】如图1，连接，证明，则，根据圆周角定理可知：点在以为直径的圆上运动，取的中点，当，，三点