第3章 空间向量及其应用 （单元重点综合测试）-2023-2024学年高二数学单元速记•巧练（沪教版2020选择性必修第一册）

第3章 空间向量及其应用 （单元重点综合测试） 一、填空题 1．已知向量，，，则 . 2．，，则在方向上的数量投影为 . 3．如图，在梯形ABCD中，，，点为空间任一点，设，，，则向量用，，表示为 . 4．设直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是 ．（填“平行”，“相交”，“线在面上”中的一个或两个） 5．在棱长为1的正方体中，平行平面与间的距离为 . 6．已知平面的一个法向量，直线的方向向量，则直线与平面所成角的正弦值为 . 7．已知空间向量.若四点共面，则 . 8．如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是上的点，直线与平面所成的角是，则的长为 . 9．已知空间一个平面与一个正方体的12条棱所成的角都等于， 则= . 10．在三棱锥中，底面，是的中点，已知，则异面直线BC与AD所成角的余弦值为 ． 11．如图，为正方体，动点在对角线上，记．当为钝角时，的取值范围为 ．    12．已知正方体的棱长为1，，则的最大值是 ． 二、单选题 13．如图：在平行六面体中，M为，的交点．若，，，则向量（    ） A． B． C． D． 14．已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ） A． B． C． D．4 15．在以下命题中，正确的命题其中真命题是（    ） A．若，则是钝角 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P、A、B、C四点共面 D．为空间一个基底，则不能构成空间的另一个基底 16．如图，在棱长为2的正方体中，点分别在线段和上，则下列结论中错误的结论（    ） A．的最小值为2 B．四面体的体积为 C．有且仅有一条直线与垂直 D．存在点，使为等边三角形 三、解答题 17．已知． (1)求与夹角的大小； (2)若，求实数k的值． 18．如图，给定长方体，点在棱的延长线上，且．设，，，试用、、的线性组合表示下列向量：    (1)； (2)； (3)； (4)． 19．在四面体中，各棱长均相等，、分别是、的中点，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)求异面直线和所成角的大小． 20．如图，正直三棱柱中，，，是的中点，是的中点. (1)判断直线与直线的位置关系并证明； (2)求直线与平面所成的角的大小. 21．如图，圆台的轴截面为等腰梯形为底面圆周上异于的点 (1)若是线段的中点，求证：平面 (2)若，设直线为平面与平面的交线，点与平面所成角为，求的最大值. 22．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，为棱的中点.    (1)求直线与平面所成线面角的大小（结果用反三角函数表示）； (2)求二面角的余弦值； (3)探究在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 空间向量及其应用 （单元重点综合测试） 一、填空题 1．已知向量，，，则 . 【答案】 【分析】根据向量垂直得到方程，求出. 【解析】由题意得，解得. 故答案为： 2．，，则在方向上的数量投影为 . 【答案】/ 【分析】由题意结合数量投影的坐标运算公式求解即可. 【解析】由题意，，所以在方向上的数量投影为. 故答案为：. 3．如图，在梯形ABCD中，，，点为空间任一点，设，，，则向量用，，表示为 . 【答案】 【分析】利用空间向量的基本定理及运算即可求解. 【解析】由题意知：在梯形中，，，可得：， 所以：，即：， 所以：. 故答案为：. 4．设直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是 ．（填“平行”，“相交”，“线在面上”中的一个或两个） 【答案】平行或线在面上 【分析】根据方向向量与法向量的数量积判断出线面关系. 【解析】因为， 所以， 所以， 所以直线与平面平行或直线在平面上， 故答案为：平行或线在面上. 5．在棱长为1的正方体中，平行平面与间的距离为 . 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，再由即可得解. 【解析】依题意，建立空间直角坐标系，如图，    则， 故 设平面的法向量为 ，则， 取，则，所以， 由题意知平面平行于平面， 所以平面与平面间的距离. 故答案为：. 6．已知平面的一个法向量，直线的方向向量，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由线面角的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【解析】设直线与平面所成角为，