正弦定理、余弦定理应用导学案-2024届高三数学一轮复习

学科 数学 年级 时间 年 月 日 课题 正弦定理、余弦定理应用 课型 课时 第1课时 主备教师 学习目标 1、 1.了解实际问题中所涉及的名词和一些术语. 2、 2.会建立实际问题的三角形模型，并能运用正弦定理或余弦定理 3、 解决有关距离、高度、角度等实际问题. 一 、 与测量有关的角的术语 1. 方位角与方向角 （1）从正北方向顺时针转到目标方向线的最小角叫方位角， 如图Z-2-1，目标A的方位角为135°. （2）从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的角叫方向角. 如图Z-2-2，目标A的方向角为北偏东30°，目标B的方向角为南偏东45°. 图Z-2-1      图Z-2-2 　 2. 仰角与俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角叫仰角. 视线在水平线下方时与水平线的夹角叫俯角（如图Z-2-1所示）. 图Z-2-13 图Z-2-4 3.坡角与坡度 坡面与水平面的夹角叫坡角， 坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度，坡度α＝，如图Z-2-4. 1. 利用正、余弦定理求解实际问题的思路 解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或多个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题. 2.几种常见题型 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题等. 3.解题时需注意的几个问题 （1）要注意仰角、俯角、方位角、方向角等概念，并能准确地找出（或作出）这些角； （2）要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解题. 2、 典例剖析 一、解三角形在实际问题中的应用 1.测量距离问题 某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点，如图，它们相距5（3+）海里. 现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东45°、B点北偏西60°，这时，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/时. （1）求B点到D点的距离BD； （2）若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间. 解三角形应用题的一般步骤 1.审题：弄清问题的实际背景，明确已知与未知，量与量之间的关系，画出示意图. 2.建模：将实际问题抽象成解三角形问题的模型. 3.解模：选择正弦定理或余弦定理求解. 4.还原：将三角形问题还原为实际问题. 若锐角三角形ABC的面积为，且AB＝5，AC＝8，则BC等于　　　　. 已知两边及其夹角解三角形的一般方法 1.利用余弦定理求出第三边的长； 2.利用余弦定理求出另一个角； 3.利用三角形内角和定理求出第三个角. 求出第三边的长后，若选用正弦定理求其他角也可以，但计算量大， 故此类型题用余弦定理求解较好. 测量距离问题的基本模型及解法 1.距离问题的解题思路： 在航海、航空和日常生活中，少不了比较距离的远近或距离大小的测量等问题，这些问题的解决，首先是要利用特定工具测出所构造三角形的有关的边和角，再利用正、余弦定理解三角形求相应的距离来实现. 测量距离问题的基本模型及解法 2.三个基本模型及解法： 模型1：测量一条河两侧两点之间的距离，设A（可达），B（不可达）是地面上两点，测量者在A点的附近选定一点C，测出AC的距离为a m，∠A＝α，∠C＝β. 求A，B两点间的距离. 在△ABC中，由正弦定理，得＝， ∴AB＝＝＝. 模型2：在河的一侧测量河的另一侧的两点之间的距离，或者利用两个观测点测量航行中的两艘轮船之间的距离等. 设A，B是两点（可视不可达），测量者选定两点C，D（可达）， 测出CD的距离a及∠ACD，∠BCD，∠BDC，∠ADC. 求A，B两点间的距离. 在△ACD中，利用正弦定理求AC； 在△DBC中，利用正弦定理求BC； 在△ABC中，利用余弦定理求AB. 四、课堂小结 第五章三角函数、解三角形 第六讲 正弦定理、余弦定理应用导学案1 ( 第 1 页 共 3 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$