【杨仲鉴编写】九年级下册数学反比例函数单元复习题(3)

5 反比例函数单元复习题(3) 6 13. 如图，直线 y=ax与双曲线 y= x k 相交于 A、B两点，点 C在双曲线上，直线 CA交 x轴于 D，直线 CB分别 交 x轴、y轴于 E、F。请你利用 CF=BE的结论证明 CD=CE。 7 b14. 如图，直线 y=ax与双曲线 y= x k 相交于 A、B两点，点 C在双曲线上，直线 CA交 x轴于 D，直线 CB分别 交 x轴、y轴于 E、F。求证：CE=CD。 ` 5 反比例函数单元复习题(3) 6 13. 如图，直线 y=ax与双曲线 y= x k 相交于 A、B两点，点 C在双曲线上，直线 CA交 x轴于 D，直线 CB 分别交 x轴、y轴于 E、F。请你利用 CF=BE的结论证明 CE=CD。 删除“利用 CF=BE的结论” 后解答见第 14题。 证明：作 AG // BC交 x轴于 G，连接 FG，则∠1=∠2，∠AGO=∠3。 ∵直线 y=ax 和双曲线都是关于原点 O 的中心对称图形， ∴OA=OB。∴△OAG≌△OBE (AAS)。 ∴AG=BE，OG=OE。 ∵CF=BE，∴AG=CF。 ∴四边形 CFGA是平行四边形。 ∴FG // CA。∴∠5=∠6。 又∵FO⊥EG，∴FE=FG。 ∴∠4=∠5。∴∠4=∠6。 ∴CE=CD。 或：通过解联立方程组 y ax xy k    ， 证明 OA=OB。 7 b14. 如图，直线 y=ax与双曲线 y= x k 相交于 A、B两点，点 C在双曲线上，直线 CA交 x轴于 D，直线 CB分别 交 x轴、y轴于 E、F。求证：CE=CD。 图 1 图 2 图 3 解：如图 1，作 BK⊥y轴于 K，作 CH⊥x轴于 H， 连接 KH，BH，CK，CO， 则 BK // x轴，CH // y轴。 ∴S△BKH=S△BKO，S△CHK=S△CHO。 ∵点 B、C都在双曲线 y= x k 上， ∴S△BKO=S△CHO=0.5k。 ∴S△BKH=S△CHK。 ∴点 B、C到直线 KH的距离相等。 ∴BC // KH。 ∴四边形 KHEB、KHCF都是平行四边形。 ∴BE=KH，CF=KH。 ∴BE=CF。 作 AG // BC交 x轴于 G，连接 FG。 同 p6 第 13题可证：CE=CD。 亦可如图 2添加辅助线，同上可证之。 或：如图 3，作 BM⊥x轴于M，作 CN⊥y轴于 N。 设 yBC=mx+n，则 xE= - m n 。 列方程组： y mx n xy k.     ， 消 y并整理得：mx2+nx-k=0。 ∴xB+xC= - m n 。∴xM=xB= - ( m n +xC)。 ∴ME=xE-xM= - m n +( m n +xC) =xC。 ∵NC=xC，∴NC=ME。 ∵BM // y轴，∴∠2=∠3。 又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3。 ∴Rt△NCF≌Rt△MEB (AAS)。 ∴CF=EB。 作 AG // BC交 x轴于 G，连接 FG。 同 p6 第 13题可证：CE=CD。 8 图 4 图 5 或：如图 4，作 CH⊥x轴于 H。 设 A(a， a k )，C(c， c k ) (c ≠ a ≠ 0)， 则 B(-a，- a k )，xH=xC=c。设 yAC=px+q。 把 A、C的坐标代入得： kpa q= a kpc q= .c      ， 解之得： kp - ac k(a+c)q .ac      ， ∴yAC= - ac k x+ ac c)k(a  。 令 y= - ac k x+ ac c)k(a  =0。 解之得：xD=a+c。 同理可证：yBC= ac k x+ ac c)-k(a ，xE=c-a。 ∴ xD-xH=a，xH-xE=a。 ∴HE=HD。 ∴CH垂直平分 ED。 ∴CE=CD。 学了相似知识后还可以证明如下： 如图 5，作 BM⊥x轴于M，作 CN⊥y轴于 N， 作 BK⊥y轴于 K，作 CH⊥x轴于 H。 可证：BK • BM=k，CN • CH=k， BK • BM=CN • CH， CN BK = BM CH ， BM // CH，Rt△ECH∽Rt△EBM， EB EC = BM CH 。同理可证： FC FB = CN BK 。 ∴ EB EC = FC FB 。∴ EB EC +1= FC FB +1。 ∴ EB BC = FC BC 。∴EB=FC。 作 AG // BC交 x轴于 G，连接 FG。 同 p6第 13题可证：CE=CD。