2024年中考数学一轮专项训练 13 二次函数综合题

二次函数综合题 类型一　二次函数与线段有关的问题 方法解读 1. 求线段长 (1)与x轴垂直的线段的长：纵坐标相减(上减下)； (2)与y轴垂直的线段的长：横坐标相减(右减左). 2. 线段数量关系问题 若两条线段的长均可计算或表示出来，直接根据线段数量关系列方程即可求解，若两条线段的长无法直接计算或表示出来，可通过与x轴或y轴的平行线构造相似三角形，将线段进行转化，再根据线段数量关系列方程即可求解． 3. 利用二次函数性质求线段最值 (1)求竖直线段的最值 第一步：设M(t，at2＋bt＋c)，则N(t，mt＋n)； 第二步：表示线段MN的长，MN＝at2＋bt＋c－mt－n； 第三步：化简MN＝at2＋bt＋c－mt－n＝at2＋(b－m)t＋c－n，利用二次函数性质求最值． (2)求斜线段的最值 利用锐角三角函数化斜为直得：MP＝MN·sin ∠MNP，再根据(1)的步骤解题即可． 4. 利用对称性质求线段和最值及点坐标，即“将军饮马”问题(如图，求PA＋PB的最小值及点P的坐标)； ①求点B关于对称轴l对称的点C的坐标； ②连接AC交直线l于点P，此时点P满足要求，从而可求出PA＋PB的最小值； ③用待定系数法求直线AC的函数表达式； ④将l对应的x的值代入AC的函数表达式可得点P的坐标． 例1　一题多设问 如图，抛物线y＝x2－x－4与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接BC，点P是第四象限抛物线上的动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交直线BC于点Q.设点P的横坐标为t. 　例1题图① 一、表示点坐标 (1)点P的坐标为________，点D的坐标为________，点Q的坐标为________； 二、表示线段长 (2)PD的长为________，QD的长为______，PQ的长为________； (3)点P到对称轴的距离为________，CQ的长为________； (4)如图②，若PQ的长为，求点Q的坐标； 　例1题图② 三、与线段数量关系有关的计算 (5)如图③，若PQ＝DQ，求点P的坐标； 　例1题图③ (6)核心考法 如图④，若BQ＝2CQ，求点P的坐标；(广东2020年第25(2)题、2017年第23(2)题考查) 　例1题图④ 四、线段最值 (7)如图⑤，过点P作PE⊥y轴，交线段BC于点E，求PE的最大值； 　例1题图⑤ (8)如图⑥，过点P作PN⊥BC于点N，求PN的最大值； 　例1题图⑥ (9)如图⑦，连接AC，在抛物线的对称轴上找一点M，使△AMC的周长最小，求出此时△AMC的周长及点M的坐标． 　例1题图⑦ 类型二　二次函数与面积有关的问题 方法解读 方法一：直接公式法 一边在坐标轴上(或平行于坐标轴)，S△ABC＝AB·h. 方法二：分割法 三边都不在坐标轴上(或都不平行于坐标轴). S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝BD·(AE＋CF)＝BD·(yC－yA). 方法三：补全法 三边都不在坐标轴上(或都不平行于坐标轴). S△ABC＝S△ACD－S△ABD－S△BCD. 注：对于四边形面积计算，可连接一条对角线将四边形转化为两个三角形面积之和求解． 例2　一题多设问 如图，抛物线y＝－x2＋3x＋4与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，点D是第一象限抛物线上的动点，设点D的横坐标为t. 一、求三角形、四边形面积 (1)如图①，当点D位于抛物线的顶点处时，连接OD，CD，求△OCD的面积； 　例2题图① (2)如图②，若t＝2，连接AC，CD，BD，求四边形ABDC的面积； 　例2题图② 二、面积定值及最值 (3)如图③，连接AD，BD，若△ABD的面积为15，求点D的坐标； 　例2题图③ 方法解读 利用二次函数性质求面积最值：用同一未知数表示出动点的坐标，进而表示出所求图形的面积，利用二次函数性质求解最值． (4)核心考法 如图④，连接BD，过点C作CP∥BD交x轴于点P，连接PD，求△BPD面积的最大值及此时点D的坐标；(广东2022年第23(2)题考查) 　例2题图④ 三、面积等值、倍分关系 (5)如图⑤，连接BD，CD，OD，若S△BOD＝S△COD，求点D的坐标； 【思维教练】表示出点D的坐标，利用三角形面积公式将S△BOD和S△COD用含t的代数式表示出来，根据已知条件列等式，即可求解． 　例2题图⑤ (6)如图⑥，连接BC，BD，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，交BC于点N，若S△BDN∶S△BMN＝1∶2，求点D的坐标． 【思维教练】根据△BDN和△BMN等高，将面积比转化为线段比，用含t的代数式表示出线段长，根据线段比列等式，即可求解． 　例2题图⑥ ( 第 1 页 共 14 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 二次