线段垂直平分线应用类型专项训练 课件 2023－2024学年人教版数学八年级上册

线段垂直平分线应用类型 专项训练 八年级数学(上)专项训练 例 如图,在Rt ABC中,∠C=90 .BD平分∠ABC交AC于点D,DE垂直平分AB,垂足为点E,请任意写出一组相等的线段:_ _. AE=BE,或AD=BD,或CD= DE,或BC=BE,或BC=AE(任写一组即可) 2 解题秘方: 线段垂直平分线的性质是说明两线段的位置和数量关系常用的重要性质,对于符合线段垂直平分线的基本图形,说明线段或角的关系时,我们首选应用线段垂直平分线的性质.本题中,用线段垂直平分线和角平分线的性质找出确定两三角形全等的条件,从而利用全等三角形的性质证明两线段相等后得出结论. 解:∵DE垂直平分AB, ∴AE=BE,AD=BD,∠BED=90 . ∵∠C=90 ,BD平分∠ABC, ∴CD=ED. 又∵BD=BD, ∴Rt BDE≌Rt BDC(HL). ∴BC=BE.∴BC=AE. 类型 1 线段垂直平分线的作法在确定点的位置中的应用 1.近年来,高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目,如图,A,B,C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地,但是,国资委 为了使A,B,C三地的民众都能 享受高铁带来的便利, 决定将高铁站修建在到A,B,C三地距离都相等的地方,则高铁站应建在( ) A.AB,BC两边垂直平分线的交点处 B.AB,BC两边高线的交点处 C.AB,BC两边中线的交点处 D.∠B,∠C两内角的平分线的交点处 【点拨】 【答案】A 因为决定将高铁站修建在到A,B,C三地距离都相等的地方,所以高铁站应建在AB,BC两边垂直平分线的交点处.理由是线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等;故选A. 2.如图,在 ABC中,点P是AC上一点,连接BP,求作一点M,使得点M到AB和AC两边的距离相等,并且到点B和点P的距离相等.(不写作法,保留作图痕迹) 解:如图,点M即为所求. 类型 2 线段垂直平分线的性质在求线段长中的应用 由作法得MN垂直平分AC, ∴DA=DC,AE=CE=2 cm. ∵ ABD的周长为11 cm,∴AB+BD+AD=11 cm, ∴AB+BD+DC=11 cm,即AB+BC=11 cm. ∴ ABC的周长为AB+BC+AC=11+2 2=15(cm). 【点拨】 【答案】C 4.如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,AB边的垂直平分线DE交BC于点D,交AB于点E,连接AD,AD将∠CAB分成两个角,且∠1∶∠2= 2∶5.求∠ADC的度数. 类型 3 线段垂直平分线的性质在求角的度数中的应用 解:设∠1=2x,则∠2=5x. ∵DE是线段AB的垂直平分线, ∴AD=BD.∴∠B=∠2=5x. ∴∠ADC=∠2+∠B=10x. 在Rt ADC中,2x+10x=90 ,解得x=7.5 , ∴∠ADC=10x=75 . 5.如图,OE,OF分别是 ABC中AB,AC边的中垂线(即垂直平分线),∠OBC,∠OCB的平分线相交于点I,试判断OI与BC的位置关系,并给出证明. 类型 4 线段垂直平分线的性质在判断两线位置关系中的应用 解:OI⊥BC. 证明:如图,连接AO,延长OI交BC于点M. ∵OE,OF分别为AB,AC的中垂线, ∴OA=OB,OA=OC.∴OB=OC. 又∵BI,CI分别为∠OBC,∠OCB的平分线, ∴点I必在∠BOC的平分线上.∴∠BOI=∠COI. 6.如图,已知在 ABC中,BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E,EF⊥AB交AB的延长线于点F,EG⊥AC交AC于点G.求证: 类型 5 线段垂直平分线的性质在证明线段的和倍关系中的应用 (1)BF=CG; 证明:如图,连接BE,CE. ∵DE垂直平分BC,∴BE=CE. ∵AE平分∠BAC,EG⊥AC, EF⊥AB,∴EF=EG. ∴Rt BFE≌Rt CGE(HL). ∴BF=CG. 通过作辅助线,利用线段垂直平分线的性质和角平分线的性质证三角形全等,得出线段的和倍关系. 【点技巧】 3.如图,在 ABC中,分别以A,C为圆心,大于AC长为半径作弧,两弧分别相交于M,N两点,作直线MN,分别交线段BC,AC于点D,E.若AE=2 cm, ABD的周长为11 cm,则 ABC的周长为( ) A.13 cm B.14 cm C.15 cm D.16 cm 在 BOM和 COM中, ∴ BOM≌ COM(SAS).∴∠BMO=∠CMO. 又∵∠BMO+∠CMO=180 , ∴∠BMO=∠CMO=90 .∴OI⊥BC. (2)AF=(AB+AC). 证明:在Rt AFE和Rt AGE中, ∴Rt AFE≌Rt AGE(HL).∴AF=AG. 又∵BF=CG, ∴(AB+AC)=(AB+AG+CG)=(AB+AG+BF)= (