2024年中考数学高频考点突破——圆与二次函数结合型压轴题

2024年中考数学高频考点突破—— 圆与二次函数结合型压轴题 1．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交 y轴与A点，交x轴与B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，－5）． （1）求此抛物线的解析式； （2）过点B作线段AB的垂线交抛物线与点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系，并给出证明． （3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图所示：在平面直角坐标系中,圆M经过原点O且与X轴Y轴分别相交于A（-6，0），B（0，-8）两点 （1）请写出直线 AB的解析式 （2）若有一抛物线的对称轴平行于Y轴且经过点M，顶点C在圆M上,开口向下且经过点B．求此抛物线的函数表达式 (3)设（2）中的抛物线交X轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得 ．若存在，请直接写出所有点P的坐标，若不存在，请说明理由 3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D． （1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）； ①求此抛物线的表达式与点D的坐标； ②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值； （2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（-8，0），B（0，-6）两点． （1）求出直线AB的函数解析式； （2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在圆M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式； （3）设（2）中的抛物线交x轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得S△PDE=S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，圆C过原点并与坐标轴分别交于A、D两点，已知点B为圆C圆周上一动点，且∠ABO=30°，点D的坐标为（0，2）． （1）直接写出圆心 C 的坐标； （2）当△BOD为等边三角形时，求点B的坐标； （3）若以点B为圆心、r为半径作圆B，当圆B与两个坐标轴同时相切时，求点B的坐标． 6．如图，已知直线y=﹣2x+12分别与y轴，x轴交于A，B两点，点M在y轴上，以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于点D，连接MD． （1）求证：△ADM∽△AOB； （2）如果⊙M的半径为2，请写出点M的坐标，并写出以（﹣，）为顶点，且过点M的抛物线的解析式． 7．如图，已知二次函数（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点． （1）写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）； （2）若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式； （3）设以AB为直径的⊙M与y轴交于C、D两点，求CD的长． 8．已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C． （1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标； （2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．   9．如图，在平面直角坐标系中，以点M（2，0）为圆心的⊙M与y轴相切于原点O，过点B（﹣2，0）作⊙M的切线，切点为C，抛物线经过点B和点M． （1）求这条抛物线解析式； （2）求点C的坐标，并判断点C是否在（1）中抛物线上； （3）动点P从原点O出发，沿y轴负半轴以每秒1个单位长的速度向下运动，当运动t秒时到达点Q处．此时△BOQ与△MCB全等，求t的值． 10．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，点为抛物线的顶点，为线段中点. （1）求的值； （2）求证：； （3）以抛物线的顶点为圆心，为半径作，点是圆上一动点，点为的中点（如图2）； ①当面积最大时，求的长度； ②若点为的中点，求点运动的路径长. 11．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+（a≠0）过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A，B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D． （1）试判断点C与⊙D的位置关系； （2）直线CM与⊙D相切吗？请说明理由； （3）在抛物线上是否存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形．    12．已知二次函数（、为常数）的图像经过点和点. （1）求、的值； （2）如图1，点在抛物线上，点是轴上的一个动点，过点平行于轴的直线平分