2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°． (1)求AB的长； (2)若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线． 2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，且DC=AC． (1)求证：DC为⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为3，CD=4，求BC的长． 3．如图，CD是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，弦DEOA，AE的延长线与CD的延长线交于B． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若BD=2，BE=4，求⊙O的半径． 4．如图，是的直径，C、D为上的点，点E在的延长线上，直线经过点C，已知，． (1)求证：为的切线． (2)若，的半径等于，求绕旋转一周得到的几何体的表面积（结果保留）． 5．如图，是的直径，C是圆上一点，过C的直线与的延长线交于点D，于E，平分．    (1)求证：是的切线； (2)若，求． 6．如图，在中，，以为直径的分别与、相交于点D和点E，，垂足为F．弦与交于点H，若，． (1)证明：是的切线； (2)求长； (3)求长． 7．如图，在中，，以为直径作交于点D，于点E，延长与交于点F．    (1)求证：是的切线． (2)若为等边三角形，，求的长． 8．如图，是的直径，是弦，，延长到D，使．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 9．如图，中，，点在边上，过点且分别与边、相交于、两点，，点为垂足．    (1)求证：直线是的切线； (2)当是等边三角形，且直线与相切时，直接写出长度为线段长度2倍的所有线段． 10．如图，已知直线交⊙O于A、B两点，是的半径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D． (1)求证：为的切线； (2)若，的半径为10，求线段的长． 11．如图，在中，为直径，为弦，为延长线上的一点，连接． (1)若的长为，求的度数． (2)若，，求证：是的切线． 12．如图，在半圆中，是直径上一点，，是的中点，连接，在射线上截取，分别过点、作，，、相交于点．    (1)求证：是半圆的切线； (2)当时，求半圆在左侧部分图形的面积 13．如图，在中，，，以为直径的⊙O经过边上的点C，连接，，． (1)若，求证：是⊙O的切线． (2)若，求的长． 14．如图，为的直径，是上一点，于点，弦与交于点，过点作，使，交的延长线于点，过点作的切线交的延长线于点．      (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求图中阴影部分面积． 15．如图，内接于半径为1的，，过点A作，的延长线交于点E，交直线于点D，连接．    (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积； (3)记的面积为，的面积为，的面积为，若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1） 解：如图所示，连接OA、OB， ∵∠ABC=30°， ∴∠AOC=60°， 由OP⊥AB于D，则， 又∵OP⊥AB ∴， （2）证明：由（1）知∠BOC=60°，从而∠OBC=∠OCB=60°， C是OP的中点，CP=CO=CB，从而． ∴∠OBP=90°（OB⊥BP）， ∴PB是⊙О的切线． 2．（1）证明：如图，连接OD， ∵在△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠A+∠ABC=90°． ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB，即∠ABC=∠ODB． ∵DC=AC， ∴∠A=∠ADC， ∴∠ODB+∠ADC=90°， ∴∠ODC=90°， ∴CD⊥OD． ∵OD是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）在Rt△ODC中，OD=3，CD=4， ∴ ∴BC=OB+OC=3+5=8． 3．如图，连接， 在与中 AC是⊙O的切线， 即 AB是⊙O的切线； （2）连接，设的半径为， AB是⊙O的切线； 在中， 解得 ⊙O的半径为3 4．(1）证明：如图，连接． ，， ，， ， 是的直径，点在上， ，即． ， ，即． 是半径， 为的切线． （2）解：如图，连接， 的半径等于， ，． ，， ． 是的直径，点为在上， ， 是等腰直角三角形， ． 由勾股定理，得， 解得， 绕旋转一周得到的几何体为两个相同的底面相对的圆锥，半径为，母线长为， 表面积． 5．（1）连接，则，    ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴， 解得， ∴， ∴的长是 6．（1）证明：连接、， ∵为的直径， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵． ∴． ∵， ∴． ∴是的切线； （2）解：∵，为的直径， ∴． 设，则． ∵，， ∴． ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴； （3）解：连接， ∵