2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（线段周长问题）

2024年人教版九年级数学中考专题训练 二次函数压轴题（线段周长问题） 1．如图，已知抛物线y1=a（x-1）（x-5）和直线y2=-ax-a（其中a0）相交于A，B两点．抛物线y1与x轴交于C、D两点．与y轴交于点G，直线y2与坐标轴交点于E、F两点． （1）若G点的坐标为（0，5），求抛物线y1和直线y2的解析式． （2）求证：直线y2始终经过抛物线y1的顶点． （3）求的值． 2．如图，在矩形中，点、点分别在轴和轴上，点．抛物线经过两点，交的延长线于点，与轴另一个交点为，且． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一个动点，轴，，垂足为． ①猜想：与的数量关系，并证明你的猜想； ②设的长为，点的横坐标为，求与的函数表达式，并求的最大值． （3）如果是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，（点在点的左侧）两点．点是该抛物线上任意一点，过点作平行于轴的直线交于，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，． (1)已知：，，． ①如图①，当点的横坐标为1，直线轴且过抛物线与轴的交点时，________，________； ②如图②，当点的横坐标为2，直线的解析式为时，________，________． (2)由（1）中两种情况的结果，请你猜想在一般情况下与之间的数量关系，并证明你的猜想． (3)若，点，的横坐标分别为，2，点在直线的上方的抛物线上运动（点不与点，重合），在点的运动过程中，利用（2）中的结论求出的最大面积． 4．已知：如图1，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心，半径为5，⊙P与抛物线的交点A、B、C刚好落在坐标轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为抛物线的顶点，经过C、D的直线是否与⊙P相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由； （3）如图2，点F是点C关于对称轴的对称点，若直线交y轴于点K，点G为直线上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使C、G、H、K四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线经过、两点，直线交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)P是抛物线上一个动点（不与A重合），与抛物线的另一个交点为D，交直线于点E，连接，求证：轴． (3)过点C的动直线交抛物线于M、N两点，分别交y轴于F、G两点，求证：为定值． 6．已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点P在直线下方的抛物线上，连接交于点，过点作轴的垂线，垂线交于点，垂线，求证；当最大时，求点P的坐标及的最大值； (3)在(2)的条件下，在上是否存在点，使是直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．设抛物线F的解析式为：y＝2x2﹣4nx+2n2+n，n为实数． （1）求抛物线F顶点的坐标（用n表示），并证明：当n变化时顶点在一条定直线l上； （2）如图，射线m是（1）中直线l与x轴正半轴夹角的平分线，点M，N都在射线m上，作MA⊥x轴、NB⊥x轴，垂足分别为点A、点B（点A在点B左侧），当MA+NB＝MN时，试判断是否为定值，若是，请求出定值；若不是，说明理由． （3）已知直线y＝kx+b与抛物线F中任意一条都相截，且截得的长度都为，求这条直线的解析式． 8．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．点P是线段BC 上的动点（点P不与B，C重合），连接并延长AP交抛物线于另一点Q，设点Q的横坐标为x． （1）①写出点A，B，C的坐标：A（       ），B（       ），C（       ）； ②求证：△ABC是直角三角形； （2）记△BCQ的面积为S，求S关于x的函数表达式； （3）在点P的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出的最大值及点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 9．概念生成：定义：我们把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆”，如图1，经过点A，并与点A的对边相切于点，则该就叫做的切接圆，根据上述定义解决下列问题：    (1)已知，中，． ①如图2，若点在边上，，以为圆心，长为半径作圆，则是的“切接圆”吗？请说明理由． ②在图3中，若点在的边上，以为圆心，长为半径作圆，当是的“切接圆”时，则的半径（直接写出答案）． (2)如图4，在中，．试说明：以抛物线图像上任意一点为圆心，长为半径作圆，是的“切接圆”． 10．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点且点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，并证明你的结论； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 11