2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数中的特殊三角形问题

2024年人教版九年级数学中考专题训练 二次函数中的特殊三角形问题 1．已知抛物线的顶点为A，点M（m，n）为第三象限抛物线上的一点，过M点作直线MB，MC交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），MC交y轴于D点，连接BC． (1)当B，C两点在x轴上，且△ABC为等腰直角三角形时，求c的值； (2)当BC经过O点，MC经过OA的中点D，且OC＝2OB时，设直线BM交y轴于E点，求证：M为BE的中点； (3)若△MBC的内心在直线x＝m上，设BC的中点为N，直线l1经过N点且垂直于x轴，直线l2经过M，A两点，记l1与l2的交点为P，求证P点在一条新抛物线上，并求这条抛物线的解析式． 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，与轴相切于点，与轴相交于、两点. （1）点、、的坐标分别是（    ，    ），（    ，    ），（    ，    ）. （2）设经过、两点的抛物线的关系式为，它的顶点为，抛物线的对称轴与轴相交于点，求证：直线与相切. （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点（点在轴的上方），使是等腰三角形.如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由. 3．已知，抛物线y＝ax2，其中a＞0． (1)如图1，若点A、B是此抛物线上两点，且分属于y轴两侧，连接AB与y轴相交于点C，且∠AOB＝90°．求证：CO； (2)如图2，若点A是此抛物线上一点，过点A的直线恰好与此抛物线仅有一个交点，且与y轴交于点B，与x轴相交于点C．求证：AC＝BC． 4．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求A点和点B的坐标； (2)判断的形状，证明你的结论； 5．已知：抛物线：（为正整数），抛物线的顶点为 （1）当k＝1时，的坐标为 ； 当k＝2时，的坐标为 ； （2）抛物线的顶点是否在同一条直线上？如在，请直接写出这条直线的解析式； （3）如图（2）中的直线为直线，直线与抛物线的左交点为，求证：与重合； （4）抛物线与x轴的右交点为，是否存在是直角三角形？若存在，求k的值，若不存在，请说明理由． 6．抛物线（且）与x轴交于，B两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，点在该抛物线上，点P是抛物线的最低点． (1)若，，求a的值； (2)记面积为S，证明：当时，； (3)将直线向上平移个单位长度得直线，与轴交于点，与抛物线交于点，当时，总有．当时，总有．是否存在，使得是直角三角形，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 7．我们定义：如图1，在与中，两三角形有公共顶点，所在射线逆时针旋转到所在射线，所在射线逆时针旋转到所在射线，，则我们称与互为“旋补比例三角形”． （1）如图1，与互为旋补比例三角形，时，①________，②___________； （2）如图2，在中，于点，与互为旋补比例三角形，延长至点，使，连结，求证：与互为旋补比例三角形； （3）如图3，在中，，点在轴的正半轴上，，点在第二象限，，抛物线经过点，与轴交点为， (点按逆时针排列)与互为旋补比例三角形，点在抛物线的对称轴上运动，当点构成的三角形是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标． 8．如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点E是x轴下方抛物线上的一个动点（点E，D，C不在同一条直线上），分别过点A，B作直线CE的垂线，垂足分别为M，N，连接MD，ND． (1)求抛物线的解析式； (2)延长MD交于BN点F， ①求证：； ②求证：； (3)当为等边三角形时，请直接写出直线CE与抛物线对称轴的交点坐标． 9．阅读理解：对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线． 解决问题：如图，已知在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，点A关于轴的对称点为点B，过点B作直线平行于轴． （1）过一动点向直线作垂线，垂足为Q，求当为正三角形时P点的坐标； （2）若动点满足到直线的距离等于线段的长度，求动点C轨迹的函数表达式； （3）若（2）中的动点C的轨迹与直线交于E、F两点，分别过E、F作直线的垂线，垂足分别是M、N，求证：为定值． 10．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在B左边），与y轴交于点C． （1）如图1，已知A（﹣1，0），B（3，0）． ①直接写出抛物线的解析式； ②点H在x轴上，D（1，0），连接AC，DC，HC，若CD平分∠ACH，求点H的坐标； （2）如图2，直线y＝﹣1与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于点D，点E，D关于x轴对称． ①若点D在抛物线对称轴的右侧，求证：DB⊥AE； ②若点D在抛物线对称轴的左侧，请直接判断，BD是否垂直AE？ 11．在中，，，，点，点 同时从点 出发