陕西省西安市长安区2024届高三第一次联考数学（文科）试题

长安区2024届高三第一次联考 数学（文科）试题 注意事项： 1.本试题共4页，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 2 3. 著名的欧拉公式是，则在复平面内的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 某班学生每天完成数学作业所需的时间的频率分布直方图如图，为响应国家减负政策，若每天作业布置量在此基础上减少5分钟，则减负后完成作业的时间的中位数为（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 5. 已知向量，，若不超过3，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 等比数列满足，，则（ ） A. 30 B. 62 C. 126 D. 254 7. 已知，则（ ） A B. C. D. 8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. B. 3 C. D. 5 9. 在三角形中，内角的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，若满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 11. 从直角三角形顶点中任取两个顶点构成向量，在这些向量中任取两个不同的向量进行数量积运算，则数量积为0的概率为（ ） A. B. C. D. 12. 已知农历每月的第天（，）的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为，其中为常数.根据以上信息，下列说法中正确的有（ ） A. 农历每月第（，）天和第天的月相外边缘形状相同 B. 月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为 C. 月相外边缘的离心率与无关 D. 农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间内 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本大题共4小题. 13. 设双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的离心率为___________. 14. 已知截所得的弦长为，则当最小时的值为______. 15. 一个正四棱柱底面边长为2，高为，上底面对角线交点与下底面四个顶点构成几何体的内切球表面积为______. 16. ，若有两个零点，则的取值范围是______. 三、解答题. （一）必考题： 17. 体育强则中国强，体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想.某学校从参加体育知识竞赛的学生中抽出200名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图所示，根据图形，回答下列问题. （1）求； （2）估计这次体育知识竞赛成绩的众数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）在抽出的200位学生中，若规定分数不低于80分的学生为获奖学生，已知这200名学生中男生与女生人数相同，男生中有20人获奖，请补充列联表，并判断是否有99%的把握认为“体育知识竞赛是否获奖与性别有关” 男生 女生 合计 获奖 20 未获奖 合计 附：，其中. 0.05 0.010 0.005 0.001 3841 6.635 7.879 10.828 18. 图1所示的是等腰梯形，，，，，于点，现将沿直线折起到的位置，连接，，形成一个四棱锥，如图2所示. （1）若平面平面，求证：； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求三棱锥的体积. 19. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围. 20. 已知数列的前项和为，，且满足. （1）求数列通项公式； （2）设，求数列的前项和. 21. 在平面直角坐标系中，已知点，点为平面内一动点，线段的中点为，点到轴的距离等于，点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）已知点，曲线上异于点的两点，满足与斜率之和为4，求点到直线距离的最大值. （二）选考题：考生从22，23题中任选一题作答，