2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题（线段周长问题）

2024年中考数学高频压轴题训练—— 二次函数压轴题（线段周长问题） 1．已知抛物线的顶点．      (1)该抛物线的解析式为______； (2)如图1，直线交轴于，交抛物线于、，轴于轴于，试比较与的大小关系． (3)如图2，，，点是抛物线上一点，轴于， ①求证：； ②是否存在点，使得取得最小值，若存在，直接写出的坐标和最小值，若不存在，说明理由． 2．概念生成：定义：我们把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆”，如图1，经过点A，并与点A的对边相切于点，则该就叫做的切接圆，根据上述定义解决下列问题：    (1)已知，中，． ①如图2，若点在边上，，以为圆心，长为半径作圆，则是的“切接圆”吗？请说明理由． ②在图3中，若点在的边上，以为圆心，长为半径作圆，当是的“切接圆”时，则的半径（直接写出答案）． (2) 如图4，在中，．试说明：以抛物线图像上任意一点为圆心，长为半径作圆，是的“切接圆”． 3．二次函数（其中是常数，且）的图象与轴分别交于点（点在点左侧），在轴交于，点在第四象限的抛物线上，连接，过点作射线交抛物线于另一点平分，作轴于，若点，的横坐标分别为．    (1)直接写出； (2)求的值； (3)当时，求证：轴． 4．如图，已知抛物线与x轴相交于、两点，并与直线交于、两点，其中点是直线与轴的交点，连接．    (1)求、两点坐标以及抛物线的解析式； (2)证明：为直角三角形； (3)求抛物线的顶点的坐标，并求出四边形的面积； (4)在抛物线的对称轴上有一点，当周长的最小时，直接写出点的坐标． 5．抛物线与轴交于点A和点B（点A在原点的左侧），与轴交于点C，． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，过线段上一点E作轴，在第一象限交抛物线于点P，轴交于点F，当的面积为时，求点P的横坐标； (3)如图2，D为对称轴右边抛物线上的任意一点，连接，分别交于M、N两点，试证明为定值． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于三点． (1)求证：； (2)点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点． ①求的最大值； ②点是的中点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 7．已知以为自变量的二次函数， （1）求证：不论取何值，该图象必经过一个定点，并求出这个定点； （2）直线与该函数图象相交于两点，当时，求的值； （3）该函数图象的顶点在怎样的曲线上，求此曲线的解析式并写出自变量取值范围． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点是抛物线上一动点． （1）如图1，当，，且时， ①求点M的坐标： ②若点在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由； （2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点在对称轴上，当，，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为，连接GF．若，求证：射线FE平分． 9．如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：； （3）点是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求的最小值． 10．抛物线的对称轴为直线，与轴交于和，与轴交于点，将沿直线作对称，得到抛物线． (1)求抛物线的解析式（写出自变量的取值范围）； (2)直线与的另一个交点，，分别为线段，上任意一点（不与，，重合），作轴，轴，分别交，于点，，设的最大值为，的最大值为，求证：． 11．如图1，抛物线（a，b，c为常数，且）与坐标轴分别交于点和点C． （1）求出a与c的数量关系式； （2）如图2，点D是内的一点，当取得最小值时，求出此时该抛物线的解析式； （3）如图3，在（2）中的抛物线与直线交于E，F两点，与直线交于M，N两点，且，点P，Q分别是、的中点，求证：直线必定经过一个定点，并求出该定点坐标． 12．如图，已知抛物线y1=a（x-1）（x-5）和直线y2=-ax-a（其中a0）相交于A，B两点．抛物线y1与x轴交于C、D两点．与y轴交于点G，直线y2与坐标轴交点于E、F两点． （1）若G点的坐标为（0，5），求抛物线y1和直线y2的解析式． （2）求证：直线y2始终经过抛物线y1的顶点． （3）求的值． 13．已知抛物线y = ax2 + bx + c（a< 0）经过原点O． (1)若抛物线的顶点为A，与x轴的另一个交点为B，当b = 2时，求∠AOB的度数； (2)若抛物线经过点（ - 2，m）和（2，m），且当 - 3≤