2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数（面积问题）

2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数（面积问题） 1．如图，已知的面积，，M为边上一动点（M与点A、B不重合），过点M作，交于点N，设． （1）的边的高　 　；的面积　 　（用含x的代数式表示） （2）把沿折叠，设折叠后点A的对应点为，与四边形重叠部分的面积为y． ①求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的范围； ②当x为何值时重叠部分的面积y最大，最大值是多少？ 2．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（－1，0），B（3，0），直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，且△ABD的面积为10． （1）求抛物线和直线AC的函数表达式； （2）若抛物线上的动点E在直线AC的下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标； （3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△BPQ为等边三角形时，求直线AP的函数表达式． 3．如图1，抛物线y＝ax2＋ax－2a（a＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），与y轴交于点C，△ABC的面积为 （1）直接写出A、B两点坐标以及抛物线的解析式 （2）点P（2，h）在抛物线上，点D在第三象限的抛物线上，∠APD＝2∠BAP，求点D的坐标 （3）如图2，直线EF：y＝mx＋n（m＞0）交抛物线于E、F两点，直线PF、PE分别与y轴的正、负半轴交于N、M两点，OM·ON＝4，求证：直线EF必过定点，并求出这个定点的坐标 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （ ）与 x轴交于A、B两点，点B在点A的右侧，顶点为C，直线CA交 y 轴于点D，且△ABC的面积是△DAB面积的2倍. （1）抛物线的对称轴为　 　； （2）求点A坐标； （3）若tan∠ABC=2，求抛物线的函数表达式. 5．为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程.和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉.市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2. （1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时. ①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？ ②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围. 6．【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 （1）若水池2的面积随长度的增加而减小，则长度的取值范围是　 　（可省略单位），水池2面积的最大值是　 　； （2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是　 　，此时的值是　 　； （3）当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是　 　； （4）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； （5）假设水池的边的长度为，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积关于的函数解析式为：．若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求的值． 7．如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，连接、．点为抛物线上的一个动点（与点、、不重合），设点的横坐标为，的面积为． （1）求此二次函数的表达式； （2）当点在第一象限内时，求关于的函数表达式； （3）若点在轴上方，的面积能否等于的面积？若能，求出此时点的坐标，若不能，请说明理由． 8．已知抛物线的解析式y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，点B的坐标为（﹣1，0）抛物线与y轴正半轴交于点C，△ABC面积为6. （1）如图1，求此抛物线的解析式； （2）P为第一象限抛物线上一动点，过P作PG⊥AC，垂足为点G，设点P的横坐标为t，线段PG的长为d，求d与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； （3）如图2，在（2）的条件下，过点B作CP的平行线交y轴上一点F，连接AF，在BF的延长线上取点E，连接PE，若PE＝AF，∠AFE+∠BEP＝180°，求点P的坐标. 9．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B.与y轴交于点C.连接AC，BC.已知