专题19 圆的基本性质（讲义）-备战2024年中考数学一轮复习考点帮（江苏专用）

专题19圆的基本性质 1．理解圆、弧、弦、圆心角的概念，了解等圆、等弧的概念，探索并了解点与圆的位置关系； 2．探索并证明垂径定理； 3．探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论； 考点1：圆的定义 （1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. （2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 考点2：圆的性质 （1）旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 　 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. （2）轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. （3）垂径定理及推论： ①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. ④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 注： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 考点3：两圆的性质 （1）两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线. （2）相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 考点4：与圆有关的角 （1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. （2）圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质： ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 【题型1：圆的基本认识】 【典例1】下列命题中，真命题的个数是（    ） ①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弦相等；③等边三角形的外心与内心重合；④任意三点可以确定一个圆；⑤三角形有且只有一个外接圆． A．0 B．1 C．2 D．3 1．如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 2．如图，在矩形中，，，P为矩形内一点，，连接，则的最小值为 ． 3．如图，是半的直径，点C在半上，，．D是上的一个动点，连接，过点C作于E，连接．在点D移动的过程中，的最小值为 ． 4．“圆是最完美的几何图形”我们知道不在同一直线上的三个点确定一个圆．已知，，，． (1)①确定经过三角形三个顶点的圆的圆心是找到三角形 ． A．三边垂直平分线的交点            B．三个角平分的交点            C．三条中线的交点 ②经过三角形的三个顶点的圆的半径是 ． (2)如图（2）当，时，过、、三点的作圆，点为线段上一动点，交圆于点，设，，求与的关系式． (3)如图（2），点是平面内一动点，当时，求的取值范围． 【题型2：垂径定理】 【典例2】小明在做一个实验，把一个球放在透明的长方体盒子内，球的一部分露出盒外，过球心的截面示意图如图所示，经测量知，盒子的高，则球的半径长是（    ） A． B． C． D． 1．如图，点在上，平分弦，连接，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上一动点，的半径是2，则的最小值为 ． 3．数学综合实践活动课上，小北小组设计了间接测量球直径的一个实验．如图，将一个球放置在圆柱形玻璃杯上，测得杯高，底面直径，球的最高点到杯底面的距离为，则通过转化成平面图形后，如图，可计算出球的直径为 （玻璃瓶厚度忽略不计）． 4．如图，在中，是的直径，是的弦，，垂足为P．过点D作的切线与的延长线相交于点E． (1)若，求的度数． (2)若，求的半径． 【题型3：弧、弦、圆心角的关系】 【典例3】下列命题正确的是(   ) A．等弧所对的圆心角相等 B．平分弦的直径平分弦所对的弧 C．三点确定一个圆 D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等 1．如图，为的直径，C、D是上的两点，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，则的度数是 ． 3．如图，在中，已知弦，，，则的半径长为 . 4．如图，已知四边形内接于圆O，直径与交于E点，平分． (1)尺规作