专题01 平方根与立方根【知识串讲+8大考点】-2023-2024学年七年级数学下册重难考点强化训练（人教版）

专题01 平方根与立方根 考点类型 知识一遍过 （一）平方根 （1）平方根的定义：若，那么x叫做a的平方根． （2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方． 开平方运算的被开方数必须是非负数（开方数≥0）才有意义。 （3）平方与开平方互为逆运算：3的平方等于9，9的平方根是3 （4）一个正数有两个平方根，且两个平方根互为相反数； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算； 0的平方根是0. （5）符号：a（a≥0）的正的平方根可用表示，也是a的算术平方根； a（a≥0）的负的平方根可用-表示． （6） ⇌ （二）算术平方根 （1）算术平方根的定义： 若，且x＞0，那么正数x叫做a的算术平方根；记为。 规定：0的算术平方根是0. （2）的结果有两种情况：当a是完全平方数时，是一个有理数； 当a不是一个完全平方数时，是一个无理数。 （3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大； 当被开方数缩小时，它的算术平方根也缩小。 （4）夹值法及估计一个（无理）数的大小 （5） (x≥0) ⇌ （6）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系： 区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个； 联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。 （三）立方根 （1）立方根的定义：若，那么叫做的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 （2）一个数的立方根，记作，读作：“三次根号”， 其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。 （3） 一个正数有一个正的立方根； 0有一个立方根，是它本身； 一个负数有一个负的立方根； 任何数都有唯一的立方根。 （4） ⇌ （5），这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点一遍过 考点1：平方根、立方根概念理解 典例1：（2022春·北京海淀·七年级人大附中校考期中）下列各数中没有平方根的是（    ） A．0 B． C． D． 【变式1】（2023秋·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．正数的平方根是它本身 B．是100的一个平方根 C．100的平方根是10 D．的平方根是 【变式2】（2023秋·江苏·八年级专题练习）立方根等于本身的数是（    ） A． B．0 C． D．或0 【变式3】（2022秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）下列说法正确的是（     ） A．立方根是负数的数一定是负数 B．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D．一个数的平方根与立方根不能相等 考点2：开平方、开立方运算 典例2：（2023秋·河南南阳·八年级统考阶段练习）的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023秋·广东深圳·八年级校联考期中）的平方根是（　　） A．4 B． C． D．2 【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）若，则的平方根为（    ） A．±2 B．4 C．2 D．±4 【变式3】（2023秋·山西临汾·八年级校考期中）下列判断：①49的平方根是7；②只有正数才有平方根；③的算术平方根是；④的立方根是．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 考点3：平方根的运用性质 典例3：（2022春·湖北武汉·七年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）一个数的平方根分别是和，则这个数是（    ） A．1 B． C．2 D．4 【变式1】（2023春·河北保定·七年级校联考期中）已知正实数的两个不相同的平方根如下表所示，则的值为（    ） 正实数 平方根 A．7 B． C．3 D．49 【变式2】（2022春·福建莆田·七年级统考期末）若2022的两个平方根是m和n，则的值是（    ） A．0 B．2022 C． D．4044 【变式3】（2022秋·贵州六盘水·八年级统考期中）若是16的平方根，则a的值为（    ） A．4 B． C．256 D．或7 考点4：运用平方根解方程 典例4：（2023·浙江·七年级假期作业）问题：在一块面积为的正方形纸片上，沿着边的方向裁出一块面积为，且长宽之比为：的长方形纸片不拼接，能裁出吗？ 对于上述问题的解决，嘉嘉和琪琪进行如下对话： 嘉嘉：真急人，我怎么也裁不出① 琪琪：别着急，一定能在一块大纸片上裁出一块面积小的纸片② 嘉嘉：你是如何计算裁出的长宽分别是多少呢？说说思路． 琪琪：设长是，宽是， 则：， ， ， ，舍去 长是，宽是③ 嘉嘉：可是不符合实际情况啊正方形纸片的面积为，则边长为，即边长为． ，，，又不能拼接，所以裁不出④ 对于嘉嘉和琪琪的对话，你认为下面哪个选项是正确的( )