专题16 妙解离心率问题（12大核心考点）（讲义）-2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）

专题16 妙解离心率问题 【目录】 2 3 4 4 6 考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题 6 考点二：焦点三角形顶角范围与离心率 7 考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题 8 考点四：椭圆与双曲线的4a通径体 9 考点五：椭圆与双曲线的4a直角体 10 考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题 10 考点七：双曲线的4a底边等腰三角形 11 考点八：焦点到渐近线距离为b 12 考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形 13 考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题 14 考点十一：渐近线平行线与面积问题 15 考点十二：数形结合转化长度角度 16 求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等． 考点要求 考题统计 考情分析 离心率 2023年新高考I卷第5、16题，10分 2023年甲卷第9题，5分 2022年甲卷第10题，5分 2022年浙江卷第16题，4分 2021年甲卷第5题，5分 2021年天津卷第8题，5分 离心率问题一直是高考每年必考，对圆锥曲线概念和几何性质的考查为主，一般不会出太难，二轮复习我们需要掌握一些基本的性质和常规的处理方法，挖掘椭圆双曲线的几何性质下手． 求离心率范围的方法 一、建立不等式法： 1、利用曲线的范围建立不等关系． 2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，． 3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为． 4、利用题目不等关系建立不等关系． 5、利用判别式建立不等关系． 6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系． 7、利用基本不等式，建立不等关系． 1．（2023•新高考Ⅰ）设椭圆，的离心率分别为，．若，则　　 A． B． C． D． 2．（2023•甲卷）已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与圆交于，两点，则　　 A． B． C． D． 3．（2022•甲卷）椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为　　 A． B． C． D． 4．（2021•甲卷）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为　　 A． B． C． D． 5．（2021•天津）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于，两点，交双曲线的渐近线于，两点，若，则双曲线的离心率为　　 A． B． C．2 D．3 6．（2022•甲卷）已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则的方程为　　 A． B． C． D． 7．（2022•全国）若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为　　 A．5 B． C． D． 8．（多选题）（2022•乙卷）双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为　　 A． B． C． D． 9．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为 ． 10．（2022•浙江）已知双曲线的左焦点为，过且斜率为的直线交双曲线于点，，交双曲线的渐近线于点，且．若，则双曲线的离心率是 ． 考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题 顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示： 椭圆：，根据范围求解值域． 双曲线：，根据范围求解值域． 【例1】（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高三单元测试）已知椭圆（a＞b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·宁夏银川·高三银川二中校考阶段练习）已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·河南驻马店·高三统考期末）已知双曲线右支上非顶点的一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设且，则双曲线离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点二：焦点三角形顶角范围与离心率 是椭圆的焦点，点在椭圆上，，则（当且仅当动点为短轴端点时取等号）． 【例2】（2024·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知点分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的一个动点，若使得满足是直角三角形的动点恰好有6个，