考点15计数原理、排列组合、二项式定理（7种题型9个易错考点）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用）

考点15计数原理、排列组合、二项式定理（7种题型9个易错考点） 【课程安排细目表】 1、 真题抢先刷，考向提前知 二、考点清单 三、题型方法 四、易错分析 一、 真题抢先刷，考向提前知 一．填空题（共6小题） 1．（2022•上海）在的展开式中，则含项的系数为 　　． 2．（2022•上海）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为 　　（用数字作答） 3．（2023•上海）设，则　　． 4．（2022•上海）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则　　． 5．（2023•上海）已知，若存在，1，2，，使得，则的最大值为 　　． 6．（2024•上海）展开式中的系数为 　　． 二、考点清单 一．分类加法计数原理 1．定义：完成一件事有两类不同方案：在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类办法中有n种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m+n种不同的方法． 2．推广：完成一件事有n类不同方案：在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1+m2+…+mn种不同的方法． 3．特点： （1）完成一件事的n类方案相互独立； （2）同一类方案中的各种方法相对独立． （3）用任何一类方案中的任何一种方法均可独立完成这件事； 4．注意：与分步乘法计数原理区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 计算“完成一件事”的方法种数 不同点 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事） 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整 【解题方法点拨】 如果完成一件事情有n类方案，且每一类方案中的任何一种方法均能独立完成这件事，则可使用分类加法计数原理． 实现步骤： （1）分类； （2）对每一类方法进行计数； （3）用分类加法计数原理求和； 二．分步乘法计数原理 1．定义：完成一件事需要分成两个步骤：做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m×n种不同的方法． 2．推广：完成一件事需要分成n个步骤：做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 3．特点：完成一件事的n个步骤相互依存，必须依次完成n个步骤才能完成这件事； 4．注意：与分类加法计数原理区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 计算“完成一件事”的方法种数 不同点 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事） 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整 【解题方法点拨】 如果完成一件事情有n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤才能完成这件事，则可使用分步乘法计数原理． 实现步骤： （1）分步； （2）对每一步的方法进行计数； （3）用分步乘法计数原理求积； 三．计数原理的应用 1．两个计数原理 （1）分类加法计数原理：N＝m1+m2+…+mn （2）分步乘法计数原理：N＝m1×m2×…×mn 2．两个计数原理的比较 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 共同点 都是计数原理，即统计完成某件事不同方法种数的原理． 不同点 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘 n类方案相互独立，且每类方案中的每种方法都能独立完成这件事 n个步骤相互依存，每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事） 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整 【解题方法点拨】 1．计数原理的应用 （1）如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类加法计数原理； （2）如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步乘法计数原理． 2．解题步骤 （1）指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分n类”还是“分n步”； （2）求每“类”或每“步”中不同方法的种数； （3）利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数； （4）作答． 【命题方向】 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法． 常见考题类型： （1）映射问题 （2）涂色问题（①区域涂色②点的涂色③线段涂色④面的涂色） （3）排数问题（①允许有重复数字②不允许有重复数字） 四．排列及