考点04幂函数、指数函数、对数函数（9种题型4个易错考点）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用）

考点04幂函数、指数函数、对数函数（9种题型4个易错考点） 【课程安排细目表】 1、 真题抢先刷，考向提前知 二、考点清单 三、题型方法 四、易错分析 五、刷好题 六.刷压轴 一、 真题抢先刷，考向提前知 一．选择题（共1小题） 1．（2021•上海）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（　　） A．f（x）＝x2 B．f（x）＝sinx C．f（x）＝2x D．f（x）＝1 二．填空题（共5小题） 2．（2021•上海）若方程组无解，则＝　 　． 3．（2021•上海）已知f（x）＝+2，则f﹣1（1）＝　 　． 4．（2020•上海）已知函数f（x）＝x3，f﹣1（x）是f（x）的反函数，则f﹣1（x）＝　 　． 5．（2020•上海）已知f（x）＝，其反函数为f﹣1（x），若f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有实数根，则a的取值范围为　 　． 6．（2022•上海）设函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（27）＝　 　． 二、考点清单 一．幂函数的概念、解析式、定义域、值域 幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数． 解析式：y＝xa＝ 定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数； 2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数． 当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下： 1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数． 2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数． 而只有a为正数，0才进入函数的值域． 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的． 二．幂函数的图象 三．幂函数的性质 所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）． （1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、图象都通过点（1，1）（0，0）； b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大； c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右； d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数． （2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、图象都通过点（1，1）； b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上； c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴． （3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线． 四．有理数指数幂及根式 【根式与分数指数幂】 规定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1） ＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1） 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 【有理数指数幂】 （1）幂的有关概念： ①正分数指数幂：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）； ②负分数指数幂：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）； ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． （2）有理数指数幂的性质： ①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）； ②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）； ③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）． 五．指数函数的单调性与特殊点 1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断． 2、同增同减的规律： （1）y＝ax 如果a＞1，则函数单调递增； （2）如果0＜a＜1，则函数单调递减． 3、复合函数的单调性： （1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大； （2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”． 六．指数式与对数式的互化 ab＝N⇔logaN＝b； alogaN＝N；logaaN＝N 指数方程和