2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（面积问题）

2024年人教版九年级数学中考专题训练 二次函数压轴题（面积问题） 1．已知抛物线经过，两点，与轴相交于点，该抛物线的顶点为点，对称轴与相交于点，与轴交于点．    (1)求该抛物线的解析式及点的坐标； (2)连接，，证明：； (3)点是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点到直线的距离为时，求点的坐标． 2．如图，已知抛物线y=mx2+2mx+c（m≠0），与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A（﹣4，0）和点B． （1）求该抛物线的解析式； （2）若P是线段OC上的动点，过点P作PE∥OA，交AC于点E，连接AP，当△AEP的面积最大时，求此时点P的坐标； （3）点D为该抛物线的顶点，⊙Q为△ABD的外接圆，求证⊙Q与直线y=2相切． 3．在平面直角坐标系中，抛物线过点，且与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点D的坐标为，连接CA，CB，CD． （1）求证：； （2）是第一象限内抛物线上的一个动点，连接DP交BC于点E. ①当△BDE是等腰三角形时，直接写出点E的坐标； ②连接CP，当△CDP的面积最大时，求点E的坐标. 4．如图1，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，与y轴交于点C(0，﹣3)，对称轴是直线x＝1，△ACB的外接圆M交y轴的正半轴与点D，连结AD、CM，并延长CM交x轴于点E． (1)求抛物线的函数表达式和直线BC的函数表达式； (2)求证：△CAD∽△CEB； (3)如图2，P为x轴正半轴上的一个动点，OP＝t，(0＜t＜3)，过P点与y轴平行的直线交抛物线与点Q，若△QAD的面积为S，写出S与t的函数表达式，问：当t为何值时，△QAD的面积最大，且最大面积为多少？ 5．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心的圆与y轴相切于点C，与x轴相交于A、B两点，且． (1)求经过C、A、B三点的抛物线的解析式； (2)设抛物线的顶点为F，证明直线与相切； (3)在x轴下方的抛物线上，是否存在一点N，使面积最大？若存在，求出面积的最大值，并求出此时点N坐标；若不存在，请说明理由． 6．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（0，2），B（2，﹣2）两点． ⑴用含a的式子表示b． ⑵当a=﹣时，y=ax2+bx+c的函数值为正整数，求满足条件的x值． ⑶若a＞0，线段AB下方的抛物线上有一点E，求证：不管a取何值，当△EAB的面积最大时，E点的横坐标为定值． 7．已知二次函数，其中． (1)当该函数的图像经过原点，求此时函数图像的顶点的坐标； (2)求证：二次函数的顶点在第三象限； (3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与轴的负半轴的交点为，求面积的最大值． 8．定义：对于二次函数，其相依函数为一次函数，例如：二次函数的相依函数为： （1）求二次函数的相依函数表达式； （2）如图，二次函数与其相依函数的图象分别交于点、，过该抛物线的顶点作直线平行于轴，已知点到直线的距离为8． ①证明：该二次函数的顶点在其相依函数的图象上； ②点为抛物线段上的一个动点，求面积的最大值． 9．已知：如图，抛物线c1经过A，B，C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E． （1）求抛物线c1解析式； （2）求四边形ABDE的面积； （3）△AOB与△BDE是否相似，如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由； （4）设抛物线c1的对称轴与x轴交于点F，另一条抛物线c2经过点E（抛物线c2与抛物线c1不重合），且顶点为M（a，b），对称轴与x轴相交于点G，且以M，G，E为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形全等，求a，b的值．（只需写出结果，不必写出解答过程） 10．如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx+1的顶点坐标为D（1，0）且经过点（0，1），将抛物线C1向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物线C2，直线y＝x+c，经过点D交y轴于点A，交抛物线C2于点B，抛物线C2的顶点为P． (1)求抛物线C1的解析式； (2)如图2，连结AP，过点B作BC⊥AP交AP的延长线于C，设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结BQ并延长交AC于点F， ①当点Q运动到什么位置时，S△PBD×S△BCF＝8？ ②连接PQ并延长交BC于点E，试证明：FC（AC+EC）为定值． 11．如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（-4，0），B（1，0），C（-2，6）. （1）求经过点A，B，C三点的抛物线解析式． （2）设直线BC交y轴于点E，连结AE，求证：AE=CE； （3）设抛物线与y轴交于点D，连结AD交BC于点F，求证：以A，B，F为顶点的三角形与△ABC相似，并求：． 12．已知抛物线过原点和点，直线与抛物线