热点2-2 函数的最值（值域）及应用（8题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）

热点2-3 函数的最值(值域)及应用 函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。 【题型1 单调性法求函数的最值（值域）】 满分技巧 函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值） （1）基本初等函数如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数可直接判断函数的单调性，从而求得值域； （2）可根据单调性的运算性质判断函数的单调性。 （3）对于复合函数，可根据“同增异减”判断函数的单调性。 【例1】（2023·宁夏固原·高三校考阶段练习）函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·广东中山·高三校考阶段练习）函数，的值域为 【变式1-2】（2023·广东深圳·高三珠海市第一中学校联考阶段练习）已知函数，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·河南焦作·高三博爱县第一中学校考阶段练习）已知函数，，则的最大值为（ ） A． B． C． D．1 【变式1-4】（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知函数是上的单调函数，且，则在上的值域为（ ） A． B． C． D． 【题型2 图象法求函数的最值（值域）】 满分技巧 画出函数的图象，根据图象确定函数的最大值与最小值，常见于含绝对值的函数。 【例2】（2023·全国·模拟预测）已知函数． （1）画出的图像，并直接写出的值域； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式2-1】（2023·河南新乡·高三校考阶段练习）对，用表示，中的较大者，记为，若函数，则的最小值为 . 【变式2-2】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）定义在上的函数满足，且当时，，当时，的值域为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·北京·高三北京四中校考期中）已知，若实数，则在区间上的最大值的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【题型3 换元法求函数的最值（值域）】 满分技巧 换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有 （1）或的结构，可用“”换元； （2）（均为常数，），可用“”换元； （3）型的函数，可用“”或“”换元； 【例3】（2023·广东河源·高三校联考开学考试）函数的最大值为 . 【变式3-1】（2023·山西吕梁·高三统考阶段练习）函数的最大值为（ ） A．4 B．2 C． D． 【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）求函数的值域. 【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）求函数的值域. 【题型4 分离常数法求函数的最值（值域）】 满分技巧 分离常数法： （1）形如的函数，可分离为，然后求值域； （2）形如，将分子配成分母的一元二次，分子分母同时除以分母，分离为； （3）形如，将分母配成分子的一元二次，分子分母同时除以分母，分离为 【例4】（2023·全国·高三专题练习）函数的值域（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）求函数的值域． 【变式4-2】（2023·江苏镇江·高三吕叔湘中学校考阶段练习）若，则函数的值域是 . 【变式4-3】（2023·全国·高三对口高考）函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【题型5 判别式法求函数的最值（值域）】 满分技巧 形如或的函数求值域，可将函数转化为关于的方程，利用二次项系数不为0，判别式或二次项系数为0，一次方程有解得出函数的值域。 【例5】（2023·河南平顶山·高三阶段练习）若函数的最大值为，最小值为，则（ ） A．4 B．6 C．7 D．8 【变式5-1】（2022·陕西·高三校联考阶段练习）函数的值域是 . 【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）求函数的值域. 【变式5-3】（2023·广东茂名·统考二模）已知实数a，b满足，则的最小值是