2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（线段周长问题）

2024年人教版九年级数学中考专题训练 二次函数压轴题（线段周长问题） 1．已知：正方形中，对角线与交于O点，点E为线段上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形，连接交于点H， ．        (1)求证：； (2)求的最大值； (3)猜想之间的数量关系，并直接写出结论． 2．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点且点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，并证明你的结论； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 3．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0,2）。 （1）若点（-，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式； （2）若点A为抛物线顶点，且抛物线过点（1,1）。 ①求抛物线的解析式； ②若点M是抛物线上异于点A的一个动点，点P与点O关于点A对称，直线MP交抛物线与另一个点N，点N’是抛物线上点N关于对称轴的对称点，直线PN’与抛物线交于点E，求证：直线EN恒过点O。 4．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点    （1）求A点和点B的坐标； （2）判断△ABC的形状，证明你的结论； （3）点M是x轴上的一个动点，当MD+MC的值最小时，求点M的坐标． 5．已知抛物线的顶点为，与y轴交于点，点为其对称轴上的一个定点． (1)求这条抛物线的函数解析式； (2)已知直线l是过点且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点到直线l的距离为d，求证：； (3)已知坐标平面内的点，请在抛物线上找一点Q，使的周长最小，并求此时周长的最小值及点Q的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与两坐标轴分别相交于A，B，C三点 (1)求A，B，C三点坐标． (2)求证：∠ACB=90° (3)点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．求DE+BF的最大值． 7．如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点，与 轴交于点，抛物线的顶点为，点是轴上方抛物线上的一个动点，过作轴于，交直线于． (1)求二次函数表达式及顶点的坐标； (2)当时，求点的坐标； (3)设抛物线对称轴与轴交于点，连接交对称轴于，连接并延长交对称轴于，证明的值为定值，并求出这个定值． 8．如图，抛物线y=x2+bx+c经过A（-1，0），C（2，-3）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B． (1)求此抛物线的解析式及顶点坐标； (2)若将此抛物线平移，使其顶点为点D，需如何平移？写出平移后抛物线的解析式； (3)过点P（m，0）作x轴的垂线（1≤m≤2），分别交平移前后的抛物线于点E，F，交直线OC于点G，求证：PF=EG． 9．在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，（点在点的左侧）两点．点是该抛物线上任意一点，过点作平行于轴的直线交于，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，． (1)已知：，，． ①如图①，当点的横坐标为1，直线轴且过抛物线与轴的交点时，________，________； ②如图②，当点的横坐标为2，直线的解析式为时，________，________． (2)由（1）中两种情况的结果，请你猜想在一般情况下与之间的数量关系，并证明你的猜想． (3)若，点，的横坐标分别为，2，点在直线的上方的抛物线上运动（点不与点，重合），在点的运动过程中，利用（2）中的结论求出的最大面积． 10．抛物线中，b，c是非零常数，无论a为何值（0除外），其顶点M一定在直线y=kx+1上，这条直线和x轴，y轴分别交于点E，A，且OA=OE. （1）求k的值； （2）求证：这条抛物线经过点A； （3）经过点A的另一条直线y=mx+n和这条抛物线只有一个公共点，经过点M作x轴的平行线和直线y=mx+n交于点B，经过点B作x轴的垂线和这条抛物线交于点C，和直线y=kx+1交于点D，探索CD和BC的数量关系. 11．在平面直角坐标系中，已知(b、c为常数)的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0，－1)，点C的坐标为(4， 3)，直角顶点B在第四象限． (1)如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式． (2)平移(1)中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点． (3)在(2)的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，在滑动过程中线段PQ的长度是否发生变化？若不变，请直接写出PQ的长度，若改变请说明理由． (4)在(2)的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由． 12．已知抛物线y = ax2 + bx + c（a< 0）经过原点O． (