重难点18导数在不等式、恒成立及存在问题中的应用（4种考法）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）

重难点18导数在不等式、恒成立及存在问题中的应用（4种考法） 【目录】 考法1：利用导数证明不等式 考法2：不等式恒成立与存在性问题 考法3：利用导数研究双变量问题 考法4：导数中极值点偏移问题 考法1：利用导数证明不等式 题型方法 一、解答题 1．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设是的两个极值点，求证：． 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)若是函数的一个极值，求实数的值； (2)求证：当时，． 3．（2023·四川成都·统考一模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求证：． 4．（2024·四川绵阳·统考二模）函数 (1)已知在上存在零点，求实数a的取值范围； (2)若在定义域上是单调函数，满足，证明：． 5．（2024·广东佛山·统考一模）已知，其中. (1)求的单调区间； (2)若，证明：当时，. 6．（2023·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在不相等的实数，，使得，证明：． 7．（2024·重庆·统考一模）（1）已知函数，（为自然对数的底数），记的最小值为，求证：； （2）若对恒成立，求的取值范围． 8．（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上存在两个极值点，． (1)求实数a的取值范围； (2)若，求证：． 9．（2024·海南海口·统考模拟预测）已知函数. (1)若的最小值为1，求； (2)设为两个不相等的正数，且，证明：. 10．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)已知，求证：． 11．（2024·全国·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，求函数在区间上的极值； (2)当时，函数的正零点从小到大依次为．证明： ①； ②． 考法2：不等式恒成立与存在性问题 一、解答题 1．（2023·四川内江·统考一模）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 2．（2023·河南新乡·校联考模拟预测）已知函数，． (1)判断是否存在x，使得，若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由； (2)讨论的单调性． 3．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围； (2)若对任意的恒成立，其中为自然对数的底数，求实数的最大值． 4．（2024·广东广州·铁一中学校考一模）已知函数，其导函数为. (1)若在不是单调函数，求实数的取值范围； (2)若在上恒成立，求实数的最小整数值. 5．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)已知，若存在，不等式成立，求实数的最大值. 6．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知函数． (1)当时，若恒成立，求的取值范围； (2)若在上有极值点，求证：． 7．（2023·福建厦门·厦门一中校考三模）已知函数. (1)若，设，讨论函数的单调性； (2)令，若存在，使得，求的取值范围. 8．（2024·全国·模拟预测）已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 9．（2024·云南昆明·统考一模）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，若恒成立，求的取值范围. 10．（2024·四川攀枝花·统考二模）已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 11．（2024·四川南充·统考一模）设函数(e为自然对数的底数)，函数与函数的图象关于直线对称. (1)设函数，若时，恒成立，求的取值范围； (2)证明：与有且仅有两条公切线，且图象上两切点横坐标互为相反数. 12．（2024·全国·模拟预测）已知实数，，． (1)求的值； (2)若对恒成立，求a的最小值； (3)当正整数时，求证：． 13．（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）已知函数，其导函数为， (1)若函数有三个零点，且，试比较与的大小. (2)若，试判断在区间上是否存在极值点，并说明理由. (3)在（1）的条件下，对任意的，总存在使得成立，求实数的最大值. 考法3：利用导数研究双变量问题 一、解答题 1．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知函数． (1)若在点处的切线与直线垂直，求该切线方程； (2)若的极值点为，设，且证明：． 2．（2023·河南·校联考二模）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围. 3．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）已知函数. (1)若在单调递增，求实数的取值范围； (2)若的极值点为，设，且证明：. 4．（2023·安徽六安·六安一