重难点15导数在不等式、恒成立及存在问题中的应用（3种考法）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用）

重难点15导数在不等式、恒成立及存在问题中的应用（3种考法） 【目录】 考法1：利用导数证明不等式 考法2：不等式恒成立与存在性问题 考法3：利用导数研究双变量问题 考法1：利用导数证明不等式 题型方法 一、解答题 1．（2023·上海·模拟预测）令，取点过其曲线做切线交y轴于，取点过其做切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列． (1)若正整数，证明； (2)若正整数，试比较与大小； (3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由． 2．（2023·上海浦东新·统考三模）已知实数，，． (1)求； (2)若对一切成立，求的最小值； (3)证明：当正整数时，． 3．（2023·上海虹口·上海市复兴高级中学校考模拟预测）已知. (1)求函数的极小值； (2)当时，求证:； (3)设，记函数在区间上的最大值为，当最小时，求a的值. 4．（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）已知函数． (1)若是定义域上的严格增函数，求a的取值范围； (2)若，，求实数a的取值范围； (3)设、是函数的两个极值点，证明：． 5．（2023·上海嘉定·统考一模）已知， (1)求函数的导数，并证明：函数在上是严格减函数（常数为自然对数的底）； (2)根据（1），判断并证明与的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）； (3)已知、是正整数，，，求证：是满足条件的唯一一组值. 6．（2023·上海长宁·统考一模）已知函数的定义域为（0，+∞）； (1)若； ①求曲线在点（1，0）处的切线方程； ②求函数的单调减区间和极小值； (2)若对任意，函数在区间（a，b]上均无最小值，且对于任意，当时，都有，求证：当时，； 考法2：不等式恒成立与存在性问题 一、解答题 1．（2023·上海杨浦·统考一模）设函数，. (1)求方程的实数解； (2)若不等式对于一切都成立，求实数的取值范围. 2．（2023·上海静安·统考一模）已知函数f(x)＝－2aln x－，g(x)＝ax－(2a＋1)ln x－，其中a∈R. (1)若x＝2是函数f(x)的驻点，求实数a的值； (2)当a >0时，求函数g(x)的单调区间； (3)若存在x[，e2 ]（e为自然对数的底），使得不等式f(x) g (x)成立，求实数a的取值范围． 3．（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）已知函数. (1)求证：； (2)若，试比较与的大小； (3)若，问是否恒成立？若恒成立，求的取值范围； 若不恒成立，请说明理由. 4．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知函数. (1)，求实数的值； (2)若，且不等式对任意恒成立，求的取值范围； (3)设，试利用结论，证明：若，其中，则. 5．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知函数（､）． (1)当a=2，b=0时，求函数图象过点的切线方程； (2)当b=1时，既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围； (3)当，b=1时，分别为的极大值点和极小值点，且，求实数k的取值范围． 6．（2023·上海·华师大二附中校考模拟预测）已知.记，其中常数m，. (1)证明：对任意m，，曲线过定点； (2)证明：对任意s，，； (3)若对一切和一切使得的函数，恒成立，求实数的取值范围. 7．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知关于的函数，与在区间上恒有，则称满足性质. (1)若，，，，判断是否满足性质，并说明理由； (2)若，，且，求的值并说明理由； (3)若，，，，试证：是满足性质的必要条件. 8．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知. (1)当时，求函数的单调减区间； (2)当时，曲线在相异的两点点处的切线分别为和和的交点位于直线上，证明：两点的横坐标之和小于4； (3)当时，如果对于任意，总存在以为三边长的三角形，求的取值范围. 9．（2023·上海宝山·统考一模）已知函数，，其中为自然对数的底数. (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)设函数， ①若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围； ②当时，分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 10．（2023·上海普陀·曹杨二中校考三模）已知函数，. (1)若存在极值，求的取值范围； (2)若，求的值； (3)对于任意正整数，是否存在整数，使得不等式成立？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由. 11．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设是定义域均为的三个函数.是的一个子集.若对任意，点与点都关于点对称，则称是关于的“对称函数”. (1)若和是关于的“对称函数”，求； (2)已知是关于的“对称函数”