第02讲 复数的四则运算（知识解读+题型归纳+随堂测试）-2023-2024学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019必修第二册）

第02讲 复数的四则运算 考点1：复数的加减运算 1.复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 2.复数的加法运算律: 交换律：z1+z2=z2+z1 结合律:：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 考点2：复数的加减运算的几何意义 1. 复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 要点诠释： 复数复平面内的点平面向量 2．复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量.对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量. 设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为=(a，b)，=(c，d)以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是， 由于= +=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)，所以和 的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量 类似复数加法的几何意义，由于z1－z2=(a－c)+(b－d)i，而向量= =(a，b)-(c，d)=(a-c，b-d)，所以和 的差就是与复数(a－c)+(b－d)i对应的向量 考点3：复数的乘除运算 1．共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。 通常记复数的共轭复数为。 2．乘法运算法则： 设，（），我们规定： 注意： 1. 两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2. 在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数(分母实数化)，化简后写成代数形式。 3．乘法运算律： (1)交换律：z1(z2z3)=(z1z2)z3 (2)结合律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 (3)分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 考点4：复数运算的一些技巧 1. 的周期性：如果n∈N，则有： ，，，（） 2. 3. 共轭复数的性质：两个共轭复数z、的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方， 即，其中z=x+yi（x，y∈R）． 【题型1 复数的加减法运算及几何意义】 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式1-3】计算： (1)； (2)； (3). 【题型2复数的乘、除运算】 【典例2】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式2-1】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【典例3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-1】计算： (1)； (2)． 【变式3-2】计算： (1) (1+2i)+（7-11i）-（5+6i）； (2)； (3). 【变式3-2】计算： (1)； (2). 【变式3-4】计算： (1)； (2)； (3)． 【题型3复数范围内解方程】 【典例4】在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3). 【变式4-1】将在复数范围内因式分解为 . 【变式4-2】在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 【变式4-3】在复数范围内分解因式： (1) (2) (3) (4) 一、单选题 1．已知为虚数单位，则复数的虚部为（    ） A． B． C．0 D．1 2．，则的共轭复数等于（     ） A． B． C． D． 3．已知，其中为虚数单位，（    ） A． B． C． D． 4．在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（    ） A． B． C． D． 6．设复数满足，则（    ） A．