7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了复数的加、减运算法则及运算律、几何意义和模的最值问题，通过知识梳理、例题解析与规律方法总结，构建从代数运算到几何意义再到实际应用的完整知识网络，帮助学生理解知识点间的内在逻辑。 其亮点在于融合数学抽象与直观想象，通过“问题情境-知识建构-应用拓展”模式，如例3利用复数模的几何意义确定点的轨迹并求最值，训练题分基础巩固与拓展探究，培养学生数学思维与运算能力。分层设计满足不同学生需求，助力教师精准复习，提升知识巩固效果。

7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义 1 1.通过实例，结合实数的加、减运算法则，理解复数代数形式的加、减运算法则（数学抽象）. 2.结合向量的加、减运算，明确复数代数形式的加、减运算的几何意义（数学运算）. 课标要求 　　1777年，数学家欧拉首次提出用i表示平方等于－1的新数， 1801年，数学家高斯系统使用了i这个符号，使之通行于世.我们 知道实数可以进行加减乘除四则运算，且运算的结果仍为一个实 数，那么复数呢？ 情景导入 知识点一　复数的加、减运算 01 知识点二　复数加、减运算的几何意义 02 提能点　复数模的最值问题 03 目录 课时作业 04 4 知识点一 复数的加、减运算 01 PART 目 录 【知识梳理】 1. 运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个 复数，则 （1）z1＋z2＝ ⁠； （2）z1－z2＝ ⁠. （a＋c）＋（b＋d）i　 （a－c）＋（b－d）i　 2. 加法运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有 （1）交换律：z1＋z2＝ ⁠； z2＋z1　 （2）结合律：（z1＋z2）＋z3＝ ⁠. z1＋（z2＋z3）　 数学·必修第二册 目 录 【例1】　（链接教材P76例1）（1）计算：（8－2i）－（－7＋5i）＋ （3 ＋7i）； 解： （8－2i）－（－7＋5i）＋（3 ＋7i）＝[8－（－7）＋3 ] ＋（－2－5＋7）i＝15＋3 . 数学·必修第二册 目 录 （2）设z1＝x＋2i，z2＝3－yi（x，y∈R），且z1＋z2＝5－6i，求z1－ z2. 解： ∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i， ∴（3＋x）＋（2－y）i＝5－6i， ∴ ∴ ∴z1－z2＝（2＋2i）－（3－8i）＝（2－3）＋[2－（－8）]i＝－1＋10i. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 复数加、减运算的解题思路 复数与复数相加减，类似于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实 部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）. 数学·必修第二册 目 录 训练1　（1）复数（1＋2i）－（3－4i）在复平面内对应的点在（　B　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析： 由复数（1＋2i）－（3－4i）＝－2＋6i，可得其在复平面内对 应的点为（－2，6），位于第二象限.故选B. B 数学·必修第二册 目 录 （2）已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，则z＝ .　 解析： 法一　设z＝x＋yi（x，y∈R），因为z＋1－3i＝5－2i，所 以x＋yi＋1－3i＝5－2i，即 解得 所以z＝4＋i. 4＋i　 法二　因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝（5－2i）－（1－3i）＝4＋i. 数学·必修第二册 目 录 知识点二 复数加、减运算的几何意义 02 PART 目 录 问题1　我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面 向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？ 提示：设 ＝（a，b）， ＝（c，d），则 ＋ ＝（a， b）＋（c，d）＝（a＋c，b＋d）. 几何意义是以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为 ， ，四边形OZ1ZZ2为 平行四边形，向量 与复数 对应，向量 与复数 ⁠ 对应. z1＋z2　 z1－ z2　 数学·必修第二册 目 录 【例2】　（链接教材P77例2）如图所示，平行四边形OABC的顶点O， A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i.求： （1） 对应的复数； 解： 因为 ＝－ ，所以 对应的复数为－3－2i. 数学·必修第二册 目 录 （2） 对应的复数； 解： 因为 ＝ － ，所以 对应的复数为（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i. （3） 对应的复数及｜ ｜的大小. 解： 因为 ＝ ＋ ，所以 对应的复数为（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i， 所以｜ ｜＝ ＝ . 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 1. 复数z与复平面内的向量 是一一对应的关系，复数的加法可以按照 向量的加法来进行运算，即复数的加法符合向量加法的三角形法则、平行 四边形法则. 2. 类比实数减法的意义，复数的减法也是加法的逆运算. 数学·必修第二册 目 录 训练2　（1）已知四边形ABCD是复平面内的平行四边形，点A，B，C 对应的复数分别为i，1，4＋2i，则｜BD｜＝（　B　） A. 5 B. C. D. 解析： 由题意得A（0，1），B（1，0），C（4，2），则 ＝ （－1，1）， ＝（3，2），∴ ＝ ＋ ＝（2，3），∴｜BD｜ ＝｜ ｜＝ ＝ . B 数学·必修第二册 目 录 （2）已知复平面内的向量 ， 对应的复数分别是－2＋i，3＋2i， 则｜ ｜＝ ⁠. 解析： ∵ ＝ ＋ ，∴ 对应的复数为（－2＋i）＋（3＋ 2i）＝1＋3i，∴｜ ｜＝ ＝ . 　 数学·必修第二册 目 录 03 PART 提能点 复数模的最值问题 目 录 问题2　根据复数及其运算的几何意义，你能求出复平面内的两点Z1 （x1，y1），Z2（x2，y2）之间的距离吗？ 提示：因为复平面内的点Z1（x1，y1），Z2（x2，y2）对应的复数分别为 z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，所以点Z1，Z2之间的距离为｜Z1Z2｜＝｜ ｜＝｜z2－z1｜＝｜（x2＋y2i）－（x1＋y1i）｜＝｜（x2－x1）＋ （y2－y1）i｜＝ . 数学·必修第二册 目 录 【例3】　复数z满足｜z＋3＋4i｜＝2，且复数z在复平面内的对应点为P. （1）确定点P的集合构成图形的形状； 解： 由题意可知｜z－（－3－4i）｜＝2， 即复数z在复平面内对应的点P与复数－3－4i在复平面内对应的点Q的距离为2，复数z在复平面内对应的点在复平面内的轨迹为如图所示的圆心为Q（－3，－4），半径为2的圆. 数学·必修第二册 目 录 （2）求｜z｜的最大值. 解： 由图可知，｜z｜的最大值为圆Q上的点到原点O的最大距离， 显然在点M处取得， 则｜z｜的最大值为 ＋2＝7. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 两个复数差的模的几何意义 （1）｜z－z0｜表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝 对值号内变为两复数差的形式； （2）｜z－z0｜＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆； （3）涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式 的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解. 数学·必修第二册 目 录 训练3　（1）若复数z满足｜z－i｜＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围 成的图形的面积为 ⁠； 解析： 由条件知｜z－i｜＝3，所以点Z的轨迹是以点（0，1）为圆 心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π. 9π　 数学·必修第二册 目 录 （2）设z∈C，且｜z＋1｜－｜z－i｜＝0，则｜z＋i｜的最小值 为 ⁠. 解析： 因为由｜z＋1｜－｜z－i｜＝0，得｜z＋1｜＝ ｜z－i｜，所以复数z表示以A（－1，0），B（0，1） 为端点的线段的垂直平分线OM，设复数－i对应点 C（0，－1），｜z＋i｜表示点Z到点C（0，－1）的距离. 当CM⊥OM时，｜z＋i｜取到最小值｜CM｜.又｜CM｜＝｜OC｜ sin 45°＝ ，所以｜z＋i｜的最小值为 . 　 数学·必修第二册 目 录 1. 计算（－3＋i）－（5－i）＋（2＋5i）＝（　　） A. －6－7i B. 6＋7i C. －6＋7i D. 6－7i 解析：　（－3＋i）－（5－i）＋（2＋5i）＝－6＋7i.故选C. √ 数学·必修第二册 目 录 2. 设复数z＝1＋i，w＝3＋2i，则 的虚部是（　　） A. －3 B. 3 C. －3i D. 3i 解析：　依题意得z＋w＝4＋3i，则 ＝4－3i，所以其虚部为－3.故 选A. √ 数学·必修第二册 目 录 3. 若z－3i＝3＋i，则｜z｜＝（　　） A. 3 B. C. 5 D. 解析：　因为z－3i＝3＋i，所以z＝3＋i＋3i＝3＋4i，所以｜z｜＝ ＝5.故选C. √ 数学·必修第二册 目 录 4. 已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i. （1）求z1－z2； 解： 由复数减法的运算法则得z1－z2＝（－2＋i）－（－1＋2i）＝－1－i. （2）在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量. 解： 在复平面内作复数z1－z2所对应的向量， 如图中 . 数学·必修第二册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）复数代数形式的加、减运算法则及运算律； （2）复数加、减运算的几何意义； （3）复数模的最值问题. 2.应体会 （1）向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、 减法几何意义的依据； （2）d＝｜z1－z2｜表示复平面上两复数对应点间的距离，利用其直观 性可求相关问题的最值. 3.避易错 （1）复数的差对应向量的方向； （2）两个复数差的模的几何意义. 数学·必修第二册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 设复数z满足z＋1－2i＝－3＋i，则｜z｜＝（　　） A. 6 B. 6 C. 5 D. 5 解析：　因为z＋1－2i＝－3＋i，所以z＝－4＋3i，所以｜z｜＝ ＝5.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册 目 录 2. 已知复数z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋（5m＋6）i，m为实数.若z1－z2 ＝0，则m的值为（　　） A. 4 B. －1 C. 6 D. 0 解析：　由题意可得z1＝z2，则 解得m＝－1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 3. 已知z1＝－1－2i，且复数z满足方程｜z－z1｜＝4，那么复数z在复平 面内对应的点P组成的图形为（　　） A. 以点（－1，－2）为圆心，4为半径的圆 B. 以点（－1，－2）为圆心，2为半径的圆 C. 以点（1，2）为圆心，4为半径的圆 D. 以点（1，2）为圆心，2为半径的圆 解析：　z1＝－1－2i在复平面内对应的点为（－1，－2），则由｜z－ z1｜＝4及｜z－z1｜的几何意义知，复数z在复平面内对应的点P组成的图 形是以点（－1，－2）为圆心，4为半径的圆. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 4. 在复平面内，O是原点， ， ， 表示的复数分别为－2＋i，3＋ 2i，1＋5i，则 表示的复数为（　　） A. 2＋8i B. －6－6i C. 4－4i D. －4＋i 解析：　因为 ＝ － ＝ －（ ＋ ），所以 表示的复 数为3＋2i－（1＋5i－2＋i）＝4－4i. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 5. 〔多选〕若z－ ＝－14i，｜ ｜＝5 ，则z可能为（　　） A. 1－7i B. 1＋7i C. －1－7i D. －1＋7i 解析： 　设z＝a＋bi（a，b∈R），则 ＝a－bi，由题意可得 解得 或 所以z＝1 －7i或z＝－1－7i.故选A、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 6. 〔多选〕已知复数z0＝1＋2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为 P0，复数z满足｜z－1｜＝｜z－i｜，下列结论正确的有（　　） A. 点P0的坐标为（1，2） B. 复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称 C. 复数z在复平面内对应的点Z在一条直线上 D. 点P（0，2）与z对应的点Z间的距离的最小值为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析： 　复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0（1，2），A正确； 复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；由｜z－z0｜的 几何意义及｜z－1｜＝｜z－i｜，可知复数z对应的点Z在以点（1， 0），（0，1）为端点的线段的垂直平分线上，C正确；结合平面几何知识 知D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 7. 若复数z1＋z2＝3＋4i，z1－z2＝5－2i，则z1＝ ⁠. 解析：两式相加得2z1＝8＋2i，所以z1＝4＋i. 4＋i　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 8. 若复数z＝a＋bi（a，b∈R，i为虚数单位）满足｜z－2i｜＝｜z｜， 写出一个满足条件的复数z＝ ⁠. 解析：z＝a＋bi，故z－2i＝a＋（b－2）i.由｜z－2i｜＝｜z｜知， ＝ ，化简得b＝1，故只要b＝1，即z＝a＋i （a可为任意实数）均满足题意，可取z＝1＋i. 1＋i（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 9. 若｜z－2｜＝｜z＋2｜，则｜z－1｜的最小值是 ⁠. 解析：由｜z－2｜＝｜z＋2｜，知z对应点的集合是到（2，0）与到（－ 2，0）距离相等的点的集合，即虚轴，∵｜z－1｜表示z对应的点与（1， 0）的距离，∴｜z－1｜min＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 10. 计算： （1）（2－ i）＋（ －2i）； 解： 原式＝（2＋ ）－（ ＋2）i＝ － i. （2）（3＋2i）＋（ －2）i； 解： 原式＝3＋（2＋ －2）i＝3＋ i. （3）（1＋2i）＋（i＋i2）＋｜3＋4i｜； 解： 原式＝1＋2i＋i－1＋5＝5＋3i. （4）（6－3i）＋（3＋2i）－（3－4i）－（－2＋i）. 解： 原式＝[6＋3－3－（－2）]＋[－3＋2－（－4）－1]i＝8＋2i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 11. 复数z1＝1＋i cos θ，z2＝ sin θ－i，则｜z1－z2｜的最大值为（　　） A. 3－2 B. －1 C. 3＋2 D. ＋1 解析：　｜z1－z2｜＝｜（1－ sin θ）＋（ cos θ＋1）i｜＝ ＝ ＝ ，∵－1≤ cos （θ＋ ）≤1，∴｜z1－z2｜max＝ ＝ ＋1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 12. 如图，在复平面内，向量 对应的复数z1＝2＋i， 绕点O逆时针旋转90°后对应的复数为z2，则｜z1＋z2｜＝ ⁠. 　 解析：由题意可设z2＝a＋bi（a＜0，b＞0）， 则 解得 ∴z2＝－1＋2i，∴z1＋z2＝（2＋i）＋（－1＋2i）＝1＋3i，∴｜z1＋z2｜＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 13. 已知｜z1｜＝1，｜z2｜＝ ，｜z1－z2｜＝2，则｜z1＋z2｜＝ ⁠. 解析：设z1对应的向量为 ，z2对应的向量为 ，则z1－z2对应的向量 为 ，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则z1＋z2对应的向量为 ，则由题意可得｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2，∴ ⊥ ，∴平行 四边形OACB为矩形，∴｜ ｜＝｜ ｜，故｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜ ＝2. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 14. 已知复数z1＝1＋（10－a2）i，z2＝（2a－5）i（a＞0）， ＋ z2∈R. （1）求实数a的值； 解： 由题意得 ＝1－（10－a2）i， 所以 ＋z2＝1－（10－a2）i＋（2a－5）i＝1＋（a2＋2a－15）i， 因为 ＋z2∈R，所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3，因为a＞0， 所以a＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）若z∈C，｜z－z2｜＝2，求｜z｜的取值范围. 解： 由（1）知z2＝i，所以满足条件｜z－z2｜＝2的点的集合是以 （0，1）为圆心，2为半径的圆，设为圆A，所以｜z｜的取值范围即圆A 上的点到坐标原点的距离的范围，所以2－1≤｜z｜≤2＋1，即1≤｜z｜ ≤3. 故｜z｜的取值范围为[1，3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 15. 已知复平面内的平行四边形ABCD中，A点对应的复数为2＋i，向量 对应的复数为1＋2i，向量 对应的复数为3－i，求： （1）点C，D对应的复数； 解：∵向量 对应的复数为1＋2i，向量 对应的复数为3－i， ∴向量 对应的复数为（3－i）－（1＋2i）＝2－3i. 又∵ ＝ ＋ ， ∴点C对应的复数为（2＋i）＋（2－3i）＝4－2i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 ∵ ＝ ， ∴向量 对应的复数为3－i， 即 ＝（3，－1）. 设D（x，y），则 ＝（x－2，y－1）＝（3，－1）， ∴ 解得 ∴点D对应的复数为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）平行四边形ABCD的面积. 解： ∵ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos B， ∴ cos B＝ ＝ ＝ . ∵0＜B＜π，∴ sin B＝ . ∴S▱ABCD＝｜ ｜｜ ｜ sin B＝ × × ＝7. ∴平行四边形ABCD的面积为7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 $