专题29 等差数列通项与前n项和-2024年（新高考）数学高频考点+重点题型

学科网（北京）股份有限公司 专题29等差数列通项与前n项和公式 1、 核心体系 二、关键能力 1.理解等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题； 4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 三、教学建议 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点．预测2022年高考将会以等差数列的通项公式及其性质、等差数列的前n项和为考查重点，也可能将等差数列的通项、前n项和及性质综合考查，题型以客观题或解答题的形式呈现，试题难度一般不大，属中档题型. 四、自主梳理 1．等差数列的定义 (1) 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项减去前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列． (2) 符号语言：an＋1－an＝d(n∈N)． 2．等差数列的通项公式（☆☆☆） 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d． 推广：an＝am＋(n－m)d． 3．等差中项（☆☆☆） 如果三个数a，A，b成等差数列，则A叫a和b的等差中项，且有A＝． 4．等差数列的前n项和公式 (1) Sn＝na1＋d． (2) Sn＝． 5. 等差数列的性质： （1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……； （3）在等差数列中，对任意，，，； （4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项. （5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列. （6）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列． （7）若数列是等差数列,则仍为等差数列． 五、高频考点+重点题型 考点一、等差数列的基本量 例1-1.（2023·全国新课标Ⅰ卷T20）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 例1-2.【2022年新高考2卷】已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． (1)证明：； (2)求集合中元素个数． 训练题组一（基本量运算） 1、【2021·全国高考真题】记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 2.【2019·江苏高考真题】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____. 3. 记Sn为等差数列{an}的前n项和．若＝，则等于(　　) A. 　　 B. 　　 C. 　　 D. 题组训练二（利用基本量探究） 1. 已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是___________. 2．（2023·全国新课标Ⅱ卷T18）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 考点二、等差数列的性质及其应用 例2-1.【2021·北京高考真题】和是两个等差数列，其中为常值，，，，则（ ） A． B． C． D． 例2-2.等差数列 的前 项和为 ，若 ，，则 (　　) A． B． C． D． 例2-3.等差数列，的前项和分别为，若，则(　　) A． B． C． D． 训练题组一 1. 已知公差不为0的等差数列{an}满足a＋a＝a＋a，则S12＝________. 训练题组二 1．【2020年新课标2卷理科】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块 训练题组三 1.等差数列 ， 的前 项和分别为 ，，若对任意的正整数 都有 ，则 ________． 2. 记等差数列的前n项和为 ，若 ， ，则 ______；当取得最大值时，______． 3. 在等差数列{an}中，a1＝－2 020，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 022＝________. 考点三、前n项和的综合应用 例3-1.【多选题】【2021·全国高三其他模拟】等差数列的前项和为，已知，，则（ ） A． B．的前项和中最小 C．的最小值为-49 D．的最大值为0 例3-2.．（2023·全国甲卷T17）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 训练题组