重难点17导数在函数及方程中的应用（单调性、极值、最值、零点）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）

重难点17导数在函数及方程中的应用（单调性、极值、最值、零点） 【目录】 考法1：利用导数研究函数的单调性 考法2：利用导数求函数的极值 考法3：利用导数求函数的最值 考法4：导数与函数零点 二、命题规律与备考策略 1.利用导数判断函数单调性：设函数在某个区间内可导， ①该区间内为增函数； ②该区间内为减函数； 注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或 递减）的。 ③在该区间内单调递增在该区间内恒成立； ④在该区间内单调递减在该区间内恒成立； 2.利用导数求极值： （1）定义：设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极大值。记作＝，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极小值。记作＝。极大值和极小值统称为极值。 （2）求函数在某个区间上的极值的步骤：（i）求导数；（ii）求方程的根；（iii）检查在方程的根的左右的符号：“左正右负”在处取极大值；“左负右正”在处取极小值。 特别提醒： ①是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是＝0，＝0是为极值点的必要而不充分条件。 ②给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！ 3.利用导数求最值：比较端点值和极值 （1）定义：函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。 （2）求函数在[]上的最大值与最小值的步骤： ①求函数在（）内的极值（极大值或极小值）； ②将的各极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。 考法1：利用导数研究函数的单调性三、题型方法 一．解答题（共18小题） 1．（2024•北京模拟）设，函数． （1）讨论的单调性； （2）若，求的取值范围； （3）若，求． 2．（2024•内江一模）已知函数，，． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，求函数的零点个数． 3．（2023•德州三模）已知函数，其中． （1）当时，求函数在，（1）处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若存在两个极值点，，的取值范围为，求的取值范围． 4．（2023•丰城市模拟）已知函数． （1）设函数，判断的单调性； （2）若当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围． 5．（2023•武功县校级模拟）已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若有两个极值点，，且不等式恒成立，求实数的取值范围． 6．（2024•甘肃模拟）已知函数． （1）当时，求曲线在点，处的切线方程； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围． 7．（2024•黑龙江模拟）已知函数，． （1）求函数 单调区间； （2）若过点，可以作曲线的3条切线，求实数的取值范围． 8．（2024•新疆一模）（1）讨论的单调性； （2）记，试探究是否存在使在处取得极小值且恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 9．（2024•汉中一模）已知函数，． （1）求函数的单调区间； （2）若方程的根为、，且，求证：． 10．（2024•内江一模）已知函数． （1）当时，试判断函数在上的单调性； （2）存在，，，，求证：． 11．（2023•河南模拟）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：； （3）已知当时，，证明：． 12．（2023•武昌区模拟）已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根，， （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：． 13．（2023•济宁三模）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设、是函数的两个极值点．证明：． 14．（2023•惠州模拟）设函数，，． （1）讨论的单调性； （2）若，，求证：． 15．（2023•鼓楼区校级模拟）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个零点，，且，求证：（其中是自然对数的底数）． 16．（2023•宣化区校级三模）已知函数． （1）若的导函数为，试讨论的单调性； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 17．（2023•惠州模拟）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在处的切线方程为，且当对于任意实数，时，存在正实数，，使得，求的最小正整数值． 18．（2023•天津模拟）已知函数，． （1）讨论的单调区间； （2）当时，令． ①证明：当时，； ②若数列满足，，证明：． 考法2：利用导数求函数的极值 一．解答题（共14小题） 1．（2024•乐山模拟）已知函数，，其中实数． （1）当时，求在上的单调区间和极值； （2）若方程有两个零点，求实数的取值范围． 2．（2023•青海一模）已知函数． （1）当，时，