重难点14导数在函数及方程中的应用（单调性、极值、最值、零点）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用）

重难点14导数在函数及方程中的应用（单调性、极值、最值、零点） 【目录】 考法1：利用导数研究函数的单调性 考法2：利用导数求函数的极值 考法3：利用导数求函数的最值 考法4：导数与函数零点 二、命题规律与备考策略 1.利用导数判断函数单调性：设函数在某个区间内可导， ①该区间内为增函数； ②该区间内为减函数； 注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或 递减）的。 ③在该区间内单调递增在该区间内恒成立； ④在该区间内单调递减在该区间内恒成立； 2.利用导数求极值： （1）定义：设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极大值。记作＝，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极小值。记作＝。极大值和极小值统称为极值。 （2）求函数在某个区间上的极值的步骤：（i）求导数；（ii）求方程的根；（iii）检查在方程的根的左右的符号：“左正右负”在处取极大值；“左负右正”在处取极小值。 特别提醒： ①是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是＝0，＝0是为极值点的必要而不充分条件。 ②给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！ 3.利用导数求最值：比较端点值和极值 （1）定义：函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。 （2）求函数在[]上的最大值与最小值的步骤： ①求函数在（）内的极值（极大值或极小值）； ②将的各极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。 考法1：利用导数研究函数的单调性三、题型方法 一．解答题（共9小题） 1．（2023•徐汇区校级三模）设是定义在区间上的函数，其导函数为．如果存在实数和函数，其中对任意的都有，使得，则称函数具有性质（a）． （1）设函数，其中为实数． （ⅰ）判断函数是否具有性质（b），请说明理由； （ⅱ）求函数的单调区间． （2）已知函数具有性质（2）．给定，，，设为实数，，，且，，若，求的取值范围． 2．（2023•虹口区二模）设，，． （1）求函数，的单调区间和极值； （2）若关于不等式在区间，上恒成立，求实数的值； （3）若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，，，，，求证：，，成等比数列． 3．（2023•徐汇区校级一模）已知函数，其中． （1）若函数定义域内的任意使恒成立，求实数的取值范围； （2）讨论函数的单调性． 4．（2023•宝山区校级三模）记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”． （1）证明：函数与不存在“点”； （2）若函数与存在“点”，求实数的值； （3）已知函数，．对存在实数，使函数与在区间内存在“点”，求实数的取值范围． 5．（2023•长宁区校级三模）已知，． （1）当时，求函数的单调减区间； （2）当时，曲线在相异的两点，点处的切线分别为和，和的交点位于直线上，证明：，两点的横坐标之和小于4； （3）当时，如果对于任意，，，，总存在以，，为三边长的三角形，求的取值范围． 6．（2021•杨浦区校级三模）已知常数，，函数，． （1）当，时，判断函数在区间，的单调性并证明； （2）当时，若关于的方程恰有两个相异实根，求实数的取值范围． 7．（2023•青浦区校级模拟）已知函数． （1）求曲线在，（1）处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若方程有解，求的取值范围． 8．（2023•崇明区二模）已知定义域为的函数，其导函数为，满足对任意的都有． （1）若，，，求实数的取值范围； （2）证明：方程至多只有一个实根； （3）若，是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数，，都有． 9．（2023•普陀区二模）已知、，设函数的表达式为（其中． （1）设，，当时，求的取值范围； （2）设，，集合，，记，若在上为严格增函数且对上的任意两个变量，，均有成立，求的取值范围； （3）当，，时，记，其中为正整数．求证：． 考法2：利用导数求函数的极值 一．解答题（共5小题） 1．（2023•青浦区二模）设、是定义域为的函数，当时， 记． （1）已知在区间上严格增，且对任意，，，有，， 证明：函数在区间上严格增； （2）已知，且对任意，，当时，有，，若当时，函数取得极值，求实数的值； （3）已知，，，且对任意，，当时，有，，证明：． 2．（2023•徐汇区校级模拟）已知函数，． （1）判断函数的奇偶性； （2）若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； （3）记是自然对数的底数）．若对任意、，且时，均有成立，求实数的取值范围． 3．（2023