2024年中考数学一轮专题复习：二次函数与相似三角形

2024年中考数学一轮专题复习：二次函数与相似三角形 1．如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）P是抛物线上一动点（P不与点A，B，C重合），过点P作PM⊥x轴，垂足为M是否存在点P，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 2．已知抛物线y＝x²＋bx＋c与x轴交于点A（－1，0）和B（3，0），且与y轴交于点C，抛物线顶点为点D， （1）求物线的解析式 （2）求证：∠ACB＝∠ABD （3）沿着y轴所在直线上下平移抛物线，使平移后的抛物线与x轴正半轴的交点为E且E在B的右侧，若∠EDB＝45°，求平移后的抛物线表达式． 3． 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)若P是线段上一动点（不与点B，C重合），过点P作垂直于x轴的垂线交抛物线于点入M、连接，当与相似时，求此时点P的坐标． 4．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，点M(m，0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N． (1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值； (3)如果以B、P、N为顶点的三角形与△ABO相似，求点M的坐标． 5．如图①，抛物线经过点，点和点，它的对称轴为直线，顶点为． （1）求该抛物线的表达式； （2）如图②，点是直线下方该抛物线上的一个动点，连接、、，当的面积取得最大值时，求点的坐标； （3）如图③，点是直线下方该抛物线上的一个动点，过点作直线于，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，求点的坐标． 6．已知抛物线的对称轴为直线x=1，其图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）直线与x轴相交于点P． ①如图1，若∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线x=1 的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值； ②如图2，若直线与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线的表达式．    7．如图，已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线AC交二次函数图象的对称轴于点D，若点C为AD的中点． （1）求m的值； （2）若二次函数图象上有一点Q，使得tan∠ABQ＝3，求点Q的坐标； （3）对于（2）中的Q点，在二次函数图象上是否存在点P，使得△QBP∽△COA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．    8．如图，已知抛物线经过原点、，直线经过抛物线的顶点，点是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，联结，，，过点作轴，分别交线段、于点、. （1）求抛物线的表达式； （2）当时，求证：； （3）当时，求点的坐标. 9．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点 (1)求抛物线解析式及A点坐标； (2)将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移个单位长度，若新抛物线的顶点在内，求m的取值范围； (3)点P为抛物线上一个动点，若，直接写出点P的坐标． 10．如图，抛物线与直线分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0），点B的纵坐标为1． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB－MC|的值最大，求出M点的坐标； (3)点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥y轴交y轴于点Q，问：是否存在点P使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线经过点，与y轴正半轴交于点C，且，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线经过B，C两点． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)直线交线段于点H，若以点O，B，H为顶点的三角形与相似，求k的值； (3)连接，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的，且满足．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，直线交轴于点，点为线段下方抛物线上的一点，过点作轴交直线于点，在直线上取点，连接，使得，求的最大值及此时点的坐标； (3)连接，把原抛物线沿射线方向平移个单位长度，点是平移后新抛物线上的一点，过点作垂直轴于点，连接，直接写出所有使得的点的横坐标． 13．如图，抛物线与直线交于两点，点在轴上，过点作轴于点，且．    (1)