2024年中考数学高频考点突破：圆与二次函数结合型压轴题

2024年中考数学高频考点突破： 圆与二次函数结合型压轴题 1．如图，顶点在轴上的抛物线与直线相交于，两点，且点在轴上，点的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接．判断点是否在以为直径的圆上，并说明理由； (3)以点为圆心，为半径画，与相切于点．求直线的函数表达式． 2．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作圆，交轴于，两点，点在上．    (1)求出，两点的坐标； (2)试确定经过、两点且以点为顶点的抛物线解析式； (3)在该抛物线上是否存在一点，使线段与互相平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线的图象的顶点坐标是，并且经过点，直线与抛物线交于B，D两点，以为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点，直线m上每一点的纵坐标都等于1．    (1)求抛物线的解析式； (2)证明：圆C与x轴相切； (3)过点B作，垂足为E，再过点D作，垂足为F，求的值． 4． 已知抛物线过点．顶点为M，与x轴交于A、B两点．如图所示以为直径作圆，记作． (1)求抛物线解析式及点D的坐标； (2)猜测直线与的位置关系，并证明你的猜想； (3)抛物线对称轴上是否存在点P，若将线段绕点P顺时针旋转，使C点的对应点恰好落在抛物线上？若能，求点P的坐标；若不能，说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，y与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)直接写出点A、B、C的坐标； (2)直接写出的重心点M的坐标； (3)坐标系中存在点，且，请你推导计算出n的值； (4)如图2．若点P在以点O为圆心，OA长为半径作的圆上，连接BP、CP，请你直接写出的最小值． 6．如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，已知两点的坐标为．点是抛物线上第一象限内一个动点， (1)求抛物线的解析式，并求出的坐标； (2)如图1，轴上有一点，连接DP交于点，若恰好平分， 求点的坐标； (3)如图2，连接交于点，以为直径作圆交于点，若 关于直线轴对称，求点的坐标． 7．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点、、、分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点的坐标为，为半圆的直径，半圆圆心的坐标为，半圆半径为． (1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)求经过点的“蛋圆”切线的解析式． (3)如果直线在线段上移动，交x轴于点，交抛物线于点，交于点．连接和后，是否存在这样的点，使点到的距离最大？若存在，请求出的值以及点的坐标，若不存在请说明理由． 8．如图，二次函数的图像如图所示，点F的坐标为，直线的表达式为，且经以坐标原点O为圆心且过点F的单位圆与直线相切．过点F的动直线在第一、二象限交二次函数的图像于点A，B，点C线段AB的中点．过点A，B，C向直线作垂线，垂足为，，，连接，交于点M，连接，交于点N， (1)求二次函数的表达式． (2)判断四边形的形状，并做出证明． (3)在图中，是否存在圆心在线段AB上且与线段AB有两个交点的圆，满足其与图中已有的水平直线（不包括考生自行添加的辅助线）相切？写出你的结论并给出证明． 9．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点． (1)求抛物线的解析式． (2)P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值． (3)以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由． 10．如图1，二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D． （1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）． （2）若以AD为直径的圆经过点C． ①求a的值． ②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段BF=2MF，求点M、N的坐标． ③如图3，点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，求点Q的坐标． 11．如图，圆心M（3，0），半径为5的⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C点，抛物线经过A、B、C三点． （1）求抛物线的解析式． （2）求圆M上一动点P到该抛物线的顶点Q的距离的最小值？并求出此时P点的坐标． （3）若OC的中点为F，请问抛物线上是否存在一点G，使得∠FBG＝45°，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由． 12．定义：