天津市南开中学2023-2024学年高二上学期第三次学情调查数学试题

s南开中学2023-2024学年度第一学期第三次学情调查 高二数学试卷 考试时间：100分钟 I卷（共32分） 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共100分。考试结束后，将答题纸交 回。 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共8小 题，每小题4分，共32分. (1)过点(0,1)且与直线x-3y+2=0唾直的直线的方程是 A.x+3y-3=0B.3x+y-1=0C.3x+y+3=0D.x-3y+1=0 (2)己知点A(4,0),点P为圆x2+y2=2上的动点，则线段AP的中点的轨迹方程是 A.(x+2)2+y2=4 B.(x+2)2+y2=2 C.x-22+y2= D.(x-2)2+y2=} (3)设等差数列[a的前n项和为S,若产=6，则受= 54 A.3 B.9 C12 D.15 (4)已知椭圆E:兰+片=1(a>b>0)的右焦点为R,左顶点为A,若E上的点P满足 PP2⊥x轴，sin∠PAP2=是，则E的离心率为 A月 B. C. 3… D.23 3 (5)已知等比数列{anJ的前n项和为Sn,a1+a3+a5=1,a2+a4+a6=2,则S2-S6= A.18 B.54 C.128 D.192 第1页共6页 （6)设等差数列{a的公差为d,前n项和为Sn,若a5=12,S17>0,S18<0,则下列 命题中正确的序号为 1数列(anJ是递减数列 Ca10<0 数列(SnJ中最大项为第9项 ④de(-3,-) A.① B.②③、 C.①②③、 D.①②③④ (7)已知双曲线c芹-兰=1a>0,b>0)的左、右焦点分别为R,B,0为坐标原点， 过R作C的一条渐近线的垂线，垂足为P,且P5|=3引OP,则双曲线C的离心率为 A.V2 B.2 C.o↑ D.2V2 (8)分形几何是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.由于不规则现象在自然界 中普遍存在，因此分形几何又被称为描述大自然的科学.下面我们利用类似于分形的方法 得到一系列图形：如图1，有一个边长为a的正三角形，在其各边分别取两个三等分点， 以边AB为例，取其两个三等分点D,E,随后以DE为边在三角形ABC外作一个正三角形 DE],然后去掉线段DE,对三角形ABC的另外两边也作同样的操作，得到如图2的图形： 下面，对新生成的三个三角形DE引，FGK,HIL的依然存在的边（边D,E,FK,GK, L,儿)做同样的操作，形成新的正三角形，并最终形成如图3的图形：依照以上操作 类推，得到一系列图形 B 图1 图2 图3 设图1中的三角形ABC为第1个图形，记第n个图形中的所有线段长之和为Sn,若存在最 大的正整数a,使得对任意的正整数n,都有Sn<2024,则a的值为 A.336 B.337 C.338 D.339 第2页共6页 I1卷（共32分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，试题中包含两个空的，答对1 个的给2分，全部答对的给4分. (9)己知(a}是等差数列，Sn为其前n项和l,若7a6+S,=12,则as= (10)已知圆C:x2+y2-2x-4y-4=0,直线：V3x+ay-V3=0与C交于A,B两点， 若1AB1=4V2,则a= (11)双曲线号-兰=1(mn≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重 m n 合，则双曲线的方程为」 (12)已知过抛物线y=4x的焦点F且领斜角为60的直线与抛物线交于A,B两点，则弦 :的中点到y轴的距离为 (13)若数列a,的前n项和为S,a1=4,5n=杂a,则数列〔a的通项公式为 (14)已知递增数列(an)共有1904项，且各项均不为多，a19o4=120,如果从(an}中任取 两项a4,y,当i<j时，y-a仍是数列(anJ中的项，则数列{a19o4-an}是 (请在“①递增数列、②递减数列、③单调性不确定的数列”三个选项中选择一个正确的 并将其序号填写在横线上)，数列(an}的各项和S1904=一 第3页共6页 三、解答题：本大题共3小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (15)(本小题满分14分) 如图，在三棱台ABC-A1B1C,中，∠BAC=90°，AB=AC=4,A1A=A1B1=2, 侧棱A1A⊥平面ABC,点D是棱CC的中点. A B D C (I)证明：BB1⊥平面AB1C: (II)求点B1到平面ABD的距离； (I川)求平面BCD与平面ABD的夹角的余弦值. 第4页共6页 (16)(本小题满分15分) 已知椭圆C兰+片=1(a>b>),其离心率为2，点r,R为C的左、右焦点，点P 为椭圆上除左、右顶点处的一点，且△PFF2的周长为4+2V3. ()求椭圆C的方程； (I)设A(O,1),直线l与椭圆C交于