北京师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

北京师大附中2023-2024学年（上）高二期末考试 数学试卷 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 考 生 须 知 1．本试卷有三道大题，共6页．考试时长120分钟，满分150分． 2．考生务必将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 3．考试结束后，考生应将答题卡交回． 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知数列满足，且，那么（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 2. 双曲线离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 圆心在直线上且与y轴相切于点的圆的方程是（ ） A B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 平行于同一直线的两个平面平行 B. 平行于同一平面的两条直线平行 C. 垂直于同一平面的两个平面平行 D. 垂直于同一直线的两个平面平行 5. 已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 6. 光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面光量的装置.表达光圈的大小我们可以用光圈的F值表示，光圈的F值系列如下：F1，F1.4，F2，F2.8，F4，F5.6，F8，…，F64.光圈的F值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F8调整到F5.6，进光量是原来的2倍.若光圈从F4调整到F1.4，则单位时间内的进光量为原来的（ ） A. 2倍 B. 4倍 C. 8倍 D. 16倍 7. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E，F分别是棱A1C1，BC的中点，则下列结论中不正确的是（　　） A. CC1∥平面A1ABB1 B. AF∥平面A1B1C1 C. EF∥平面A1ABB1 D. AE∥平面B1BCC1 8. 已知直线，为圆上一动点，则点到直线的距离的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 已知是等差数列，是其前项和.则“”是“对于任意且，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知是各项均为正整数的数列，且，，对，与有且仅有一个成立，则的最小值为（ ） A. 18 B. 20 C. 21 D. 23 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知双曲线，则双曲线的右焦点到其渐近线的距离是________． 12. 已知为等比数列，为其前项和，若，，则________；________． 13. 已知椭圆两个焦点分别为，，若点在椭圆上，且，则点到轴的距离为________． 14. 设为原点，双曲线的右焦点为，点在的右支上．则的渐近线方程是________；的最大值是________． 15. 如图，在棱长为2的正方体中，点，分别在线段和上．给出下列四个结论： ①的最小值为2； ②三棱锥的体积为； ③有且仅有一条直线与垂直； ④存在点，，使等腰三角形． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，记，求数列的前项和． 17. 如图，四边形为梯形，，四边形为矩形，平面，，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知椭圆过点，，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设点，直线与椭圆的另一个交点为，为坐标原点，判断直线与直线的位置关系，并说明理由． 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值． 条件①：异面直线与所成角的余弦值为； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 20. 已知椭圆的右顶点，P为椭圆C上的动点，且点P不在x轴上，O是坐标原点，面积的最大值为1． （1）求椭圆C的方程及离心率； （2）过点的直线与椭圆C交于另一点Q，直线分别与y轴相交于点E，F．当时，求直线的方程． 21. 对于一个有穷正整数数列，设其各项为，各项和为，集合中元素的个数为. （1）写出所有满足的数列； （2）对所有满足的数列，求的最小值； （3）对所有满足的数列，求的最大值. 北京师大附中2023-2024学年（上）高二期末考试 数学试卷 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 考 生 须 知 1．本试卷有三道大题，共6页．考试时长120分钟，满分1