专题1.12 平方差公式（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.12 平方差公式（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】平方差公式 1.平方差公式 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 2.平方差公式的几种常见变化及应用 变化公式 应用举例 （1）位置变化 (b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)= （2）符号变化 (-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)==- （3）系数变化 (3a+2b)(3a-2b)=-=9-4 （4）指数变化 (+)(-)==- （5）增项变化 (a-b+c)(a-b-c)=- （6）连用公式 (a+b)(a-b)(+)=(-)(+)=- （7）曾因式变化 (-a-b)(-a+b)(a-b)(a+b)=[](-)= 特别提醒：公式特征 1.等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数. 2.等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方. 3.理解字母a,b的意义，平方差公式中的a,b既可以代表一个单项式，也可以代表一个多项式. 【知识点二】平方差公式的验证 平方差公式的几何意义 边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，则阴影部分的面积是；将阴影部分剪拼成一个长方形，这个长方形的长为a+b,宽为a-b，面积为(a+b)(a-b).因为两个长方形的阴影部分面积相等，所以(a+b)(a-b)= 特别提醒 利用图形验证平方差公式的关键是将同一个图形的面积用不同的方法表示，即直接表示和间接表示. 【考点目录】 【考点1】运算平方差公式进行运算； 【考点2】构造平方差公式计算； 【考点3】平方差公式中的整体思想； 【考点4】运用平方差公式化简求值； 【考点5】运用平方差公式进行简便运算； 【考点6】建立平方差公式模型解决实际问题. 【考点1】运算平方差公式进行运算； 【例1】（2023上·全国·八年级课堂例题）计算： （1） ； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，运用公式时找准公式中的“”和“”，经过符号、系数、位置等变形后即符合平方差公式特征． （1）直接利用平方差公式计算即可． （2）变换括号里面加数的位置后利用平方差公式计算即可． （3）变换括号里面加数的位置后利用平方差公式计算即可． （4）变换括号里面加数，符号的位置后利用平方差公式计算即可． （1）解： = （2） （3） （4） 【变式1】（2023上·上海·七年级校考期中）下列多项式乘法计算中，不能用平方差公式的是（     ） A、 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式．根据平方差公式逐项判断即可得． 解：A、，能用平方差公式，则此项不符合题意； B、，不能用平方差公式，则此项符合题意； C、，能用平方差公式，则此项不符合题意； D、，能用平方差公式，则此项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（2022下·浙江杭州·七年级统考期末）若，，则与的等量关系是 （结果不含，）． 【答案】 【分析】灵活运用平方差公式，求出答案即可． 解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了平方差公式的计算，熟练运用平方差公式是本题的关键． 【考点2】构造平方差公式进行运算 【例2】（2023上·全国·八年级专题练习）求的个位数字． 【答案】6 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，根据平方差公式，求出，根据的个位数字是6即可得出结果． 解： ， ∵，个位数按照2，4，8，6依次循环， 而， ∴原式的个位数为6． 【变式1】（2023上·湖北·九年级校考周测）设，则以下四个选项中最接近的整数为（    ） A．252 B．504 C．1007 D．2013 【答案】B 【分析】题目主要考查求代数式的值，平方差公式，根据题意，进行错位相减，然后求解即可． 解： ∴ ， 故选：B． 【变式2】（2022下·四川成都·七年级校考期中）计算： ． 【答案】5050 【分析】先分别计算相邻的两个数的平方差，化简，再计算有理数的加法． 解： ， 故答案为：5050． 【点拨】此题考查了平方差公式的应用，正确理解式子的构成特点掌握平方差公式是解题的关键． 【考点3】平方差公式中的整体思想； 【例3】（2023上·全国·八年级专题练习）在下列等式中，A和B应表示什么式子？ （1）； （2）． 【答案】（1）A代表，B代表b；（2）A代表，B代表 【分析】本题主要考查平方差公式的推广，熟练掌握整体代入得思想是解题的关键．结合平方差公式的形式，分别找出符号相同的项