广东省惠州市2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题

惠州市2023-2024学年度第一学期期末质量检测试题 高二数学 全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上. 2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效. 3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线l的一个方向向量为，求直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 3. 已知正项等比数列}满足为与的等比中项，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知平面，其中，法向量，则下列各点中不在平面内的是（ ） A. B. C. D. 5. 设A，B为两个互斥的事件，且，则下列各式错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 在数列中，若，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 7. 如图，是的重心，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线C：的右焦点为F，过F作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点，且，，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二、选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最大值为 10. 已知圆，直线.则（ ） A. 直线与圆可能相切 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 11. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 平面 C. 点到平面的距离为 D. 直线与平面所成角的余弦值为 12. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，下列结论正确的是（ ） A. 函数有1个零点 B 函数有2个零点 C. 函数有最小值 D. 关于x方程的解为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是，，则该密码被成功破译的概率为______． 14. 已知两圆和相交，则公共弦的长度为_____． 15. 已知直线过点，且直线的方向向量为，则点到的距离为__________. 16. 已知函数，正数数列满足且，若不等式恒成立，则实数的最小值为___________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知是数列的前n项和，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 18. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是. （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）随机试验：从盒中有放回取球两次，每次任取一球记下颜色. （i）写出该试验的样本空间； （ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由. 19. 已知曲线C位于y轴右侧，且曲线C上任意一点P与定点的距离比它到y轴的距离大1． （1）求曲线C的轨迹方程； （2）若直线l经过点F，与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的方程． 20. 如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程； （2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 21. 如图所示的几何体是由一个直三棱柱和半个圆柱拼接而成.其中，，点为弧的中点，且四点共面. （1）证明：四点共面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求长. 22. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，且离心率为，设椭圆的右顶点为，点，是椭圆上异于，的两个动点，记直线，的斜率分别为，，且． （