万变不离其宗（二）高中数学思想方法篇专题讲义

0.2万变不离其宗（二）——高中数学思想方法篇 作者 付斌 2023年3月2日 第一部分 综述：什么是题和如何解题 （一）WHAT?什么是题？什么是解题？ 什么是题？题就是问题，问题就是矛盾，矛盾就是差异——说完整就是对立统一。 对立=差异+排斥+斗争。统一=联系+吸引+转化。 矛盾=对立统一=两个不同的东西放在一起=问题≈差异≈关系。 A与的统一模式有且只有三种：A，，☯。 数学联系=数学关系=数量关系+几何关系。联系是多样的，且各联系间也是对立统一的，即可以相互转化的。 数量关系=等量关系+不等量关系。几何关系=平行关系+相交关系（特例：垂直关系）。 高中数学中的矛盾有：知识A与知识B的矛盾（如函数与方程的矛盾），函数A与函数B的矛盾（特别是超越函数与代数函数的矛盾等——泰勒公式、切线不等式等沟通了超越函数与代数函数），数与形的矛盾（坐标法、向量等沟通了数与形），整体与局部的矛盾（分类讨论等沟通了整体与部分），等量关系与不等量关系的矛盾（二者间的转化表明了它们间的联系），已知与未知的矛盾（已知与未知的关系、题目、解题过程等沟通了已知与未知），形式矛盾（解题时问题的形式要注意，形式不同往往难度不同），一般与特殊的矛盾（包括数学思想与数学知识、具体题目的矛盾，实际问题与数学知识的矛盾），简单与复杂的矛盾（变形、运算等沟通了简单与复杂），向量与数量的矛盾（极化恒等式沟通了向量与数量），长度与角度的矛盾（三角函数、正弦定理、余弦定理等沟通了长度与角度），次数矛盾（降幂公式等沟通了不同的次数），有限与无限的矛盾（极限等沟通了有限与无限），猜想（发散思维）与演绎推理的矛盾。 故，什么是解题？解题就是解决问题，解决问题就是消除差异、“统一度量衡”，就是消除已知与已知的差异和已知与未知的差异，从而实现已知向未知的转化。这是什么？这就是已知与未知的矛盾运动，这就是辩证法，也即是常言说的数学思想方法（数学思想方法的本质就是辩证法）。比喻说，推广普通话的理、统一天下的理就是解题的理。 （二）HOW?怎样解题？ 恩格斯说，“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辨证法进入了数学。” 列宁说，“高等数学的主要基础之一，就是矛盾”，“就是初等数学，也充满着矛盾”。 解题的过程实在太辩证法了。以高中数学中的三角恒等变形为例，其中的变化、转化、分析就是精彩的《矛盾论》、《中国革命战争的战略问题》：无非角矛盾、名矛盾和幂次数矛盾这三个矛盾间的矛盾运动而已。 比喻： 解题就是下棋，条件就是我方，结论或问题就是敌方。分析法主导，综合法辅助，分析敌我形势，看如何从条件到达敌方阵地。 结论 问题 条件 分析法 综合法 又比喻： 解题就是当红娘，条件是男方，结论或问题就是女方，仔细分析男女双方的异同，来回穿梭于男女双方之间，不断地消除差异，不断地撮合，让天下有情人终成眷属（即打通思路）。 最后的总结： 数学题之矛盾红娘说——什么是题和怎样解题 就事论事——就题论题，做一个题只是一个题，拘泥于个例，不概括，没深度，怎么好举一反三、一通百通？（付斌深度课堂宣） 付斌猜想：《矛盾论》是世间法的最高方法论，是易经八卦等（含数学思想方法）的蒸馏。 【建议同学们、同行把下面这段《解题心经》背下来，并反复体会，一定会有帮助！】 “题就是问题，问题就是矛盾，矛盾就是差异——说完整就是对立统一。”“分析就是当红娘；解题就是消差异，消差异就是化异为同、化多为一、化二为一，就是“消元”——说完整就是数学矛盾的运动过程。” 重要注释：这里的“元”是广义的，指不同的数学对象，如函数、数列、方程和不等式，函数f(x）与函数g（x)，超越函数与代数函数，等等，也自然包含狭义的元之意。 一言以蔽之，《矛盾论》就是最根本的方法论，自然也是解题的方法论。 说明：关于解题，有著名数学家、教育家波利亚·哲尔吉 的 《怎样解题》，有薛金星老师主编的《怎样解题——高中数学思想方法》（还有初中版的），还有各种各样的《题典》，薄则一二百页，厚则上千页，加之付老师几十年（从上高中算起）的解题经验，高度概括就是上面几句话！ 附1 《笛卡尔 变数》（出处：https://blog.csdn.net/w864428621/article/details/49557663） 笛卡尔的主要数学成果集中在他的“几何学”中。他提出必须把几何与代数的优点结合起来，建立一种“真正的数学”。笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的。依照这种思想他创立了我们现在称之为的“解析几何学”。 1637年，笛卡尔发表了《几何学》，创立了直角坐标系。他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定点的位置，用坐标来描述空间上的点。