第七讲 空间向量在立体几何中的应用（第2课时）导学案-2024届高三数学一轮复习

学科 数学 年级 时间 年 月 日 课题 空间向量在立体几何中的应用 课型 复习课 课时 第2课时 主备教师 学习目标 1.回忆求二面角的基本方法和步骤，会求二面角的大小。 2.能灵活运用向量方法求各种距离。 3.体会向量法在求距离中的作用。 1、 知识填空 求二面角的大小 如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的射线，则二面角的大小θ＝ . 如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉，取值范围是[0，π]． 注：注意二面角与两个平面的夹角的区别与联系，二面角的取值范围是[0，π]，两个平面的夹角的范围是. 4．求空间的距离 (1)点到直线的距离 如图，直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，则点P到直线l的距离d＝ . (2)点到平面的距离 如图，A是平面α内的定点，B是平面α外一点，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝ . (3)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解． 2． 双基自测 1．在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于(　　) A．4 B．2 C．3 D．1 2．(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是(　　) A．当＝2时，B1，P，D三点共线 B．当⊥时，⊥ C．当＝3时，D1P∥平面BDC1 D．当＝5时，A1C⊥平面D1AP 3． 典例剖析 多角度探究突破 考向二　利用空间向量求空间角 角度　　求二面角 例4　如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM. (1)求BC； (2)求二面角A－PM－B的正弦值． 利用向量法确定二面角大小的常用方法 (1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小． (2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量夹角的大小就是二面角的大小． 　　 考向三　利用空间向量求空间距离 例5　在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点． (1)求点B到直线AC1的距离； (2)求直线FC到平面AEC1的距离． (1)求平面α外一点P到平面α的距离的常用方法 ①直接法：过点P作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离． ②转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求． ③等体积法． ④向量法：设平面α的一个法向量为n，A是α内任意点，则点P到α的距离为d＝. (2)求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可． 四、当堂检测 1．底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qiàn dǔ)；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑(biē nào)指四个面均为直角三角形的四面体．如图在堑堵ABC－A1B1C1中，AB⊥AC． (1)求证：四棱锥B－A1ACC1为阳马； (2)若C1C＝BC＝2，当鳖臑C1－ABC的体积最大时，求锐二面角C－A1B－C1的余弦值． 2．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE＝2，M为线段BF的中点． (1)求M到平面DEC的距离及三棱锥M－CDE的体积； (2)求证：DM⊥平面ACE. 第八章立体几何和空间向量第七讲空间向量在立体几何中的应用导学案2 学科网（北京）股份有限公司 $$