2.1.3 直线与圆的位置关系（课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020必修第三册）

2.1.3 直线与圆的位置关系 第2章 圆锥曲线 教师 xxx 沪教版（2020）选择性必修第一册 直线与圆的位置关系 01 03 02 CONTANTS 目 录 直线与圆的位置关系 01 “大漠孤烟直，长河落日圆”出自唐代诗人王维的《使至塞上》，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象． 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片． 问题1： 图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？ 提示：(1)相交，(2)相切，(3)相离． 问题2：结合初中平面几何中学过的直线与圆的位置关系，直线与圆有几种位置关系？ 提示：3种，分别是相交、相切、相离． 问题3：如何判断直线与圆的位置关系？ 提示：可利用圆心到直线的距离d与半径r的关系． 我们知道，直线与圆有三种位置关系： 直线与圆相交，有两个公共点； 2. 直线与圆相切，只有一个公共点； 3. 直线与圆相离，没有公共点. 思考 在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？根据上述定义，如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 提示： 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判 定方法 几何法： 设圆心到直线的距离 d＜r d＝r d＞r 代数法： 由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 探究一 直线与圆的位置关系的判断 【例1】 已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,直线与圆 (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点. 分析:直线与圆有两个公共点⇔直线与圆相交;直线与圆只有一个公共点⇔直线与圆相切;直线与圆没有公共点⇔直线与圆相离. 题型探究 解法一:将直线方程y=mx-m-1代入圆的方程, 化简整理得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0,则Δ=4m(3m+4). 解法二:圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,即圆心C(2,1),半径r=2. 反思感悟 直线与圆的位置关系反映在三个方面:一是圆心到直线的距离与半径的大小关系;二是直线与圆的公共点的个数;三是两方程组成的方程组解的个数.因此,若给出图形,可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法,几何法计算量小,代数法可一同求出交点.解题时可根据条件作出恰当的选择. 【变式训练1】 直线(a+1)x+(a-1)y+2a=0(a∈R)与圆x2+y2-2x+2y-7=0的位置关系是(　　) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 解析:由题意得,直线(a+1)x+(a-1)y+2a=0恒过定点(-1,-1). ∵(-1)2+(-1)2-2×(-1)+2×(-1)-7<0, ∴定点(-1,-1)在圆内, ∴直线与圆相交. 答案:B 探究二 直线与圆相切 【例2】 若直线l经过点P(2,3),且与圆(x-1)2+(y+2)2=1相切,求直线l的方程. 分析:可以利用几何法和代数法两种思路求切线方程. 解:∵(2-1)2+(3+2)2>1,∴点P在圆外. (方法一)①若直线l的斜率存在,设l:y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0. ∵直线l与圆(x-1)2+(y+2)2=1相切, ②若直线l的斜率不存在,则直线l:x=2,经验证,符合题意. 因此,直线l的方程为12x-5y-9=0或x=2. (方法二)①若直线l的斜率存在,设l:y-3=k(x-2),即y=k(x-2)+3. 与圆的方程联立消去y,得(x-1)2+[k(x-2)+3+2]2=1, 整理得(k2+1)x2-(4k2-10k+2)x+4k2-20k+25=0. ②若直线l的斜率不存在,则直线l:x=2,经验证,符合题意. 因此,直线l的方程为12x-5y-9=0或x=2. 若本例点P的坐标改为P(2,-2),其他条件不变,求直线l的方程. 解:∵(2-1)2+(-2+2)2=1, ∴点P在圆上.∴过点P的圆的切线有一条. ∵圆心(1,-2),点P(2,-2), ∴过圆心与点P的直线平行于x轴. ∴切线方程为x=2,即直线l的方程为x=2. 反思感悟 圆的切线方程的两种求解方法: (1)几何法:设出切线的方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出未知量的值,此种方法需要注意斜率不存在的情况,要单独验证,若符合题意则直接写出切线方程.一般地,求圆的切线方程或与切线有关的问题常用此方法. (2)代数法:设出直线的方程后与圆的方程联立消元,利用Δ=0求未知量的值.若消元后的方程是一元一次方程,则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在,可直接