第11讲 反比例函数-备考2024年中考数学一轮复习高频考点精讲与热点题型精练（浙江专用）

第11讲　反比例函数 考纲要求 命题趋势 1．理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式． 2．会画反比例函数图象，根据图象和解析式探索并理解其基本性质． 3．能用反比例函数解决简单实际问题． 　　反比例函数是中考命题热点之一，主要考查反比例函数的图象、性质及解析式的确定，也经常与一次函数、二次函数及几何图形等知识综合考查．考查形式以选择题、填空题、解答题都有可能． 一、反比例函数的概念 一般地，形如y＝（k是常数，k≠0）的函数叫做反比例函数． 1．反比例函数y＝中的是一个分式，所以自变量x≠0，函数与x轴、y轴无交点． 2．反比例函数解析式可以写成xy＝k（k≠0），它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k． 二、反比例函数的图象与性质 1．图象 反比例函数的图象是双曲线． 2．性质 （1）当k＞0时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别在二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．注意双曲线的两支和坐标轴无限靠近，但永远不能相交．（2）双曲线是轴对称图形，直线y＝x或y＝－x是它的对称轴；双曲线也是中心对称图形，对称中心是坐标原点． 三、反比例函数的应用 1．利用待定系数法确定反比例函数解析式 由于反比例函数y＝中只有一个待定系数，因此只要一对对应的x，y值，或已知其图象上一个点的坐标即可求出k，进而确定反比例函数的解析式． 2．反比例函数的实际应用 解决反比例函数应用问题时，首先要找出存在反比例关系的两个变量，然后建立反比例函数模型，进而利用反比例函数的有关知识加以解决． 1．关于x的函数y=k（x+1）和y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（　 　） A．B．C．D． 2. 函数的自变量x满足≤x≤2时，函数值y满足≤y≤1，则这个函数可以是（ ） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 3．若点A（1，y1），B（2，y2）是双曲线y＝上的点，则y1　 　y2（填“＞”，“＜”或“＝”）． 4．如图，两个反比例函数y=和y=在第一象限的图象如图所示，当P在y=的图象上，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=的图象于点B，则四边形PAOB的面积为　　 5．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点． （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出使kx+b＜成立的x的取值范围； （3）求△AOB的面积． 6．已知平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（m，2），B（﹣1，n）． （1）求m，n的值； （2）①求一次函数的表达式；②当，直接写出x的取值范围； （3）点P是x轴上一点，当△OAP和△OAB的面积相等时，求P点的坐标． 考点一、反比例函数的图象与性质 【例1】反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则m的取值范围是__________． 方法总结 1．．由于双曲线自变量的取值范围是x≠0的实数，故其性质强调在每个象限内y随x的变化而变化的情况． 2．反比例函数图象的分布取决于k的符号，当k＞0时，图象在第一、三象限，当k＜0时，图象在第二、四象限． 举一反三 在反比例函数y=图象上有两点A（x1，y1），B （x2，y2），x1＜0＜x2，y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A．m＞ B．m＜ C．m≥ D．m≤ 考点二、反比例函数解析式的确定 【例2】已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB，AC相交于D点，双曲线y＝（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB•AC＝160，有下列四个结论： ①菱形OABC的面积为80；②E点的坐标是（4，8）；③双曲线的解析式为y＝（x＞0）；④sin∠COA＝． 其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 方法总结 反比例函数只有一个基本量k，故只需一个条件即可确定反比例函数．这个条件可以是图象上一点的坐标，也可以是x，y的一对对应值． 举一反三 如图，已知A （﹣4，n），B （2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点； （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积； （3）求不等式的解集（请直接写出答案）． 考点三、反比例函数的比例系数k的几何意义 【例3】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为　　． 方法总结 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的