第08讲 一元二次方程及其应用-备考2024年中考数学一轮复习高频考点精讲与热点题型精练（浙江专用）

第8讲　一元二次方程 考纲要求 命题趋势 1．理解一元二次方程的概念． 2．掌握一元二次方程的解法． 3．了解一元二次方程根的判别式，会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用． 4．会列一元二次方程解决实际问题． 　　结合近年中考试题分析，一元二次方程的内容考查主要有一元二次方程的有关概念，一元二次方程的解法及列一元二次方程解决实际问题，题型以选择题、填空题为主，与其他知识综合命题时常为解答题． 一、一元二次方程的概念 1．只含有两个个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0）． 二、一元二次方程的解法 1．解一元二次方程的基本思想是降次，主要方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解． 2．配方法：通过配方把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，b2－4ac≥0）变形为＝　 的形式，再利用直接开平方法求解． 3．公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）当b2－4ac≥0时，x＝　 ． 4．用因式分解法解方程的原理是：若a·b＝0，则a＝0或b＝0． 三、一元二次方程根的判别式 1．一元二次方程根的判别式是b2－4ac． 2．（1）b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等实数根； （2）b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个相等实数根； （3）b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）没有实数根． 四、一元二次方程根与系数的关系 1．在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式． 2．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝　 ，x1x2＝　 ． 五、实际问题与一元二次方程 列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1） 审题；（2）设未知数；（3）找等量关系；（4）列方程；（5）解方程；（6）检验；（7）写出答案． 1．一元二次方程x2+6x﹣3＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．如果2是一元二次方程x2＝c的一个根，那么常数c是（　 　） A．2 B．－2 C．4 D．－4 3．某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是（　 　） A．200（1＋a%）2＝148 B．200（1－a%）2＝148 C．200（1－2a%）＝148 D．200（1－a2%）＝148 4．已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　 　） A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=0 5．若（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣10=0，则x2+y2=　 　． 6．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是　 　． 7．若a•b≠1，且有2a2+5a+1=0，b2+5b+2=0，则2+的值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程　 　． 9．阅读解方程x4﹣4x2﹣5＝0的方法． 解：设x2＝y． 则方程可变形为y2﹣4y﹣5＝0． 解得y1＝5，y2＝﹣1． 当y＝5时，x2＝5，解得x＝． 当y＝﹣1时，x2＝﹣1，没有实数根． 综上，原方程的解为x1＝，． 用阅读内容中的方法解决下列问题： （1）若实数a、b满足a2+b2＝+1，则a2+b2的值是　 　． （2）解方程x+1﹣2＝3． 考点一、一元二次方程的有关概念 【例1】下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣y﹣1＝0 C． D．（x﹣1）（x+2）＝1 方法总结 方程是一元二次方程要同时满足下列条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不等于0．容易忽略的是条件①和④． 举一反三 方程x2+ax+1=0和x2﹣x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（　 　） A．0