精品解析：上海市莘庄中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题

莘庄中学2023学年第一学期高二年级数学期末 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若一个球的半径为，则它的体积为_______． 2. 已知直线经过，，则直线的倾斜角大小为_______． 3. 已知圆柱的底面半径为1，高为2，则该圆柱的全面积为_______． 4. 已知椭圆的焦点坐标为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________． 5. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是_______． 6. 设直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是_______．（填“平行”，“相交”，“线在面上”中的一个或两个） 7. 已知长方体，，，则二面角的大为___． 8. 已知直线，.若时，则直线与之间的距离________． 9. 已知椭圆的左右焦点分别为、，抛物线的焦点为，若，则椭圆的长轴长为_______． 10. 已知椭圆上有一点，是轴上的定点，若有一点满足，则的轨迹方程为_______． 11. 如图，为双曲线的右焦点，过作直线与圆切于点，与双曲线交于点，且恰为线段的中点，则双曲线的渐近线方程是______. 12. 已知正方体棱长为2，E为棱的中点，F，Q分别是线段上的两个动点，为正方体表面上一点，若到棱与到棱的距离相等，则的最小值为_______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 若直线经过点、，则以下是直线的方程的为（ ） A. B. C. D. 14. 已知空间中，l、m、n是互不相同直线，、是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，则 15. 已知不同两点，在曲线上，且满足，则直线AB斜率的取值范围是（ ） A. B. C D. 16. 已知，是曲线上两点，若存在点，使得曲线上任意一点都存在使得，则称曲线是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，在直三棱柱中，，，． （1）求证：； （2）设与底面ABC所成角的大小为，求三棱锥的体积． 18. 已知抛物线， （1）若该抛物线的焦点到准线的距离为1，求抛物线的标准方程； （2）若，O为坐标原点，斜率为2且过焦点的直线交此抛物线于A、B两点，求的面积． 19 已知双曲线． （1）求上焦点坐标； （2）若动点在双曲线的上支上运动，求点到的距离的最小值，并求此时的坐标； （3）若为双曲线的上顶点，直线与双曲线交于C、D两点（异于点），，求实数的值． 20. 　　　如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点． （Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD； （Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的大小； （Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 21. 已知为坐标原点，曲线和曲线有公共点，直线与曲线的左支相交于A，B两点，线段AB的中点为． （1）若曲线和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率； （2）若是曲线上的点，且在第一象限，，是其左右焦点，当为直角三角形时，求点的横坐标； （3）若直线与曲线相交于C、D两点，且直线OM经过线CD中点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莘庄中学2023学年第一学期高二年级数学期末 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若一个球的半径为，则它的体积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由球的体积公式可得. 【详解】由球的半径， 得, 故答案为：. 2. 已知直线经过，，则直线的倾斜角大小为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先由斜率坐标公式求解斜率，再求倾斜角. 【详解】因为直线经过，， 所以直线的倾斜角的斜率， 设直线的倾斜角为，则，则， 则直线的倾斜角. 故答案为：. 3. 已知圆柱的底面半径为1，高为2，则该圆柱的全面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆柱的全面积公式求解. 【详解】由圆柱的全面积公式得：， 故答案为： 4. 已知椭圆的焦点坐标为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合椭圆的几何性质，求得的