数学01（2024新题型）-2024年1月新“九省联考”考后提升卷 （原卷+解析）

2024年1月“九省联考”考后提升卷 高三数学 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（    ）． A．5，7 B．6，7 C．8，5 D．8，7 2．设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 3．若数列满足，其前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 5．在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为（    ） A． B． C． D． 6．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（    ） A．9 B．6 C．4 D．3 7．已知，则（    ） A． B． C．1 D． 8．已知分别为双曲线的左、右焦点，过且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（    ） A．的最小正周期为 B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D．在上单调递增 10．已知复数，（，）（为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（    ） A．的虚部为 B． C． D．若，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为 11．已知函数，的定义域均为R，且，，，则下列说法正确的有（    ） A． B．为奇函数 C．的周期为6 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合且，则实数a的取值范围是 ． 13．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为 . 14．对于任意两个正实数a，b，定义，其中常数．若，且与都是集合的元素，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求函数的单调性和极值. 16．（15分）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有个红球，则分得个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目. (1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率； (2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望. 17．（15分）如图，在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，，. (1)求证：； (2)若点的在线段上，且二面角的大小为，求的值. 18．（17分）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为的准线交轴于点，过的直线与抛物线相切于点，且交轴正半轴于点.已知上的动点到点的距离与到直线的距离之和的最小值为3. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足.证明：直线过定点. 19．（17分）今有一个“数列过滤器”，它会将进入的无穷非减正整数数列删去某些项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列，每次“过滤”会删去数列中除以余数为的项，将这样的操作记为操作.设数列是无穷非减正整数数列. （1）若，进行操作后得到，设前项和为 ①求． ②是否存在，使得成等差？若存在，求出所有的；若不存在，说明理由． （2）若，对进行与操作得到，再将中下标除以4余数为0，1的项删掉最终得到证明：每个大于1的奇平方数都是中相邻两项