精品解析：上海市浦东新区上海海事大学附属北蔡高级中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

北蔡中学2023学年第一学期高二年级数学期末 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 若平面与平面平行，，则直线的位置关系为 __________． 2. 若用与球心的距离为的平面截球体所得的圆面半径为2，则球的半径为______. 3. 若正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，则此正四棱柱的体积为___________. 4. 已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为，则该圆锥的体积等于________. 5. 在正方体中，E为AB的中点，则异面直线与所成角为_____． 6. 设数列是等差数列，且，是数列的前n项和，则当______时，取到最小值． 7. 已知数列的前n项和，那么__________. 8. 函数的一个极值点为1，则的极大值是______． 9. 在数列中，，（），则______. 10. 设数列的前项和为，若，则______. 11. 在边长为1的正方形中裁去一个如图所示的扇形，再将剩余的阴影部分绕AB旋转一周，则所得几何体的表面积为 _______． 12. 定义在上的函数满足，，则下列说法正确的是________. （1）在处取得极小值，极小值为 （2）只有一个零点 （3）若上恒成立，则 （4） 二、单选题（每题3分，共12分） 13. 棱长为2正四面体的表面积是（ ） A. B. C. D. 14. 函数图象上点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 15. 设m、n是不同的直线，、是不同的平面，其中真命题有（ ）个． （1）若，，，则；（2）若，，，则； （3）若，，，则；（4）若，，，，则； A 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 定义在上函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”．现有定义在上的如下函数：（1）；（2）；（3）；（4）．则其中是“保等比数列函数”的的序号为（ ） A. （1）（2） B. （1）（3） C. （2）（3） D. （3）（4） 三、解答题 17. 如图，在三棱柱中，平面ABC，，，的中点为H． （1）求直线与平面所成角； （2）求点H到平面的距离． 18. 已知等差数列中，，公差；等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项． （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前n项和. 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，点M为线段PB中点，，． （1）证明：平面MAC； （2）求二面角的大小． 20. 已知数列满足，． （1）证明：数列为等差数列，并求出数列的通项公式； （2）设数列满足，为数列的前n项和， ①求数列前n项和； ②若在，上恒成立，求的取值范围． 21. 记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“好点”． （1）判断函数与是否存在“好点”，若存在，求出“好点”；若不存在，请说明珵由； （2）若函数与存在“好点”，求实数的值； （3）已知函数，，若存在实数，使函数与在区间内存在“好点”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北蔡中学2023学年第一学期高二年级数学期末 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 若平面与平面平行，，则直线的位置关系为 __________． 【答案】平行或异面 【解析】 【分析】根据面面平行的性质进行判断即可. 【详解】∵平面∥平面， ∴平面与平面没有公共点 ∵， ∴直线没有公共点 ∴直线的位置关系是平行或异面 故答案为：平行或异面． 2. 若用与球心的距离为的平面截球体所得的圆面半径为2，则球的半径为______. 【答案】3 【解析】 【分析】直接由勾股定理计算可得. 【详解】由于球心到平面的距离为，所得圆面的半径为2， 则球的半径为. 故答案为：3 3. 若正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，则此正四棱柱的体积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用柱体的体积公式可求得正四棱柱的体积. 【详解】正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，若正四棱柱的底面边长为，侧棱长为， 则该正四棱柱的体积为. 故答案为：. 4. 已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为，则该圆锥的体积等于________. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出地面和给高，再用面积公式即可. 【详解】设圆锥的地面半径为，因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以母线长为，高为 侧面积, 解得 所以该圆锥的体积等于 故答案为： 5. 在正方体中，E为AB中点，则异面直线与所成角为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，由题意可得（或其补角）为异面直线与所成角，根据余弦定理计算即可求解. 【详解】如图，取的中点F，连接EF，，则且， 所以四边形为平行四边形，则， 故（或其补角）