模型5 对角互补-【一战成名新中考】2024四川中考数学·培优册

培优册·四川数学 基 本 模 型 篇 模型５　对角互补 ［成都２０２３．２６，２０１９．２７］ 模型解读 情形 图示 结论 含直角 一组邻 边相等 （ＡＤ＝ＣＤ） 邻边均 不相等 作垂直构全等 △ＡＥＤ≌△ＣＦＤ 旋转构等腰直角三角形 △ＢＤＧ是等腰直角三角 形，即 ＤＢ＝ＤＧ，∠ＢＤＧ ＝９０° 作垂直构相似 △ＡＥＤ∽△ＣＦＤ 不含 直角 一组邻 边相等 （ＡＤ＝ＣＤ，∠ＡＢＣ＋ ∠ＡＤＣ＝１８０°） 邻边均 不相等 （∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ＝１８０°） 作垂直构全等 △ＡＥＤ≌△ＣＦＤ 旋转构等腰三角形 △ＢＤＧ是等腰三角形，即 ＤＢ＝ＤＧ 作垂直构相似 △ＡＥＤ∽△ＣＦＤ 典例精析 图１ 例：【优质原创】如图１，正方形ＡＢＣＤ的边长为３，Ｏ是对角线ＡＣ上一点，且ＣＯ ＝２ＡＯ，Ｅ是边ＣＤ上一点，连接ＯＥ，过点Ｏ作ＯＦ⊥ＯＥ，交ＢＣ于点Ｆ． （１）四边形ＣＥＯＦ的面积为　　　　． ２１ 培优册·四川数学 基 本 模 型 篇 【思路剖析】过点Ｏ分别作ＣＤ，ＢＣ的垂线，构造全等三角形，将四边形ＣＥＯＦ的面积转化为 一个以ＯＣ为对角线的正方形面积． 【答案】４ 【自主解答】如解图１，过点Ｏ分别作ＯＧ⊥ＣＤ，ＯＨ⊥ＢＣ，垂足分别为Ｇ，Ｈ，∵点Ｏ在正方形ＡＢＣＤ的 对角线上，∴ＯＧ＝ＯＨ，∠ＧＯＨ＝９０°，即四边形ＣＧＯＨ是正方形，∵∠ＥＯＦ＝∠ＥＯＧ＋∠ＧＯＦ＝∠ＧＯＦ ＋∠ＦＯＨ＝∠ＧＯＨ，∴∠ＥＯＧ＝∠ＦＯＨ，又∵∠ＯＧＥ＝∠ＯＨＦ，∴△ＯＧＥ≌△ＯＨＦ（ＡＳＡ），∴Ｓ四边形ＣＥＯＦ ＝Ｓ正方形ＣＧＯＨ．∵ＡＤ＝３，∴ＡＣ＝３槡２，∵ＣＯ＝２ＡＯ，∴ＣＯ＝２槡２，∴Ｓ正方形ＣＧＯＨ＝ １ ２ＣＯ ２＝１２×（２槡２） ２＝４， ∴Ｓ四边形ＣＥＯＦ＝４． （２）如图２，延长ＯＥ交ＡＤ的延长线于点Ｍ，延长ＯＦ交ＤＣ的延长线于点Ｎ，则ＯＭＯＮ＝　　　　． 【思路剖析】过点Ｏ分别作ＡＤ，ＤＣ的垂线，构造相似三角形，将所求比值转化为相似三角形 的相似比． 图２ 【答案】　　 【自主解答】如解图２，过点Ｏ分别作ＯＧ⊥ＣＤ，ＯＨ⊥ＡＤ，垂足分别为Ｇ，Ｈ，∴ 四边形 ＯＨＤＧ为矩形，∴∠ＨＯＧ＝９０°，∵∠ＥＯＦ＝∠ＥＯＧ＋∠ＧＯＮ＝∠ＥＯＧ ＋∠ＨＯＭ ＝∠ＨＯＧ，∴ ∠ＨＯＭ ＝∠ＧＯＮ，又 ∵ ∠ＭＨＯ＝∠ＮＧＯ＝９０°， ∴△ＭＨＯ∽△ＮＧＯ，∴ＯＭＯＮ＝ ＯＨ ＯＧ．∵ＡＤ＝３，∴ＡＣ＝３槡２，∵ＣＯ＝２ＡＯ，∴ＡＯ＝槡２，ＣＯ＝２槡２，∴ＯＨ＝１， ＯＧ＝２，∴ＯＭＯＮ＝ ＯＨ ＯＧ＝ １ ２． 针对训练 １．【多解法】如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＢＣ＝５，点 Ｅ在对角线 ＡＣ上，连接 ＢＥ，作 ＥＦ⊥ＢＥ， 垂足为 Ｅ，直线ＥＦ交线段 ＤＣ于点 Ｆ，则ＥＦＢＥ＝　　　　． 第１题图 　　　　 第２题图 ２．【多解法】如图，等边三角形ＡＢＣ的边长为４，Ｄ是边ＡＣ的中点，Ｅ在边ＡＢ上，ＢＥ＝１，点Ｆ在 边ＢＣ的延长线上，且∠ＥＤＦ＝１２０°，则ＣＦ的长为　　　　． ３．如图，正方形ＡＢＣＤ的对角线交于点Ｏ，点Ｅ，Ｆ分别在ＡＢ，ＢＣ上（ＡＥ＜ＢＥ），且∠ＥＯＦ＝９０°， ＯＥ，ＤＡ的延长线交于点 Ｍ，ＯＦ，ＡＢ的延长线交于点 Ｎ，连接 ＭＮ．若正方形 ＡＢＣＤ的边长为 ４，Ｅ为 ＯＭ的中点，则ＭＮ的长为　２槡１０　． 　 第３题图 ３１ 一战成名·四川数学 培 优 册 ＝ＢＧ，∴ＥＧ＝ＢＧ＋ＥＢ＝４－ｘ＋３＝７－ｘ，∴ＥＦ＝７－ｘ，在 Ｒｔ△ＡＥＦ中，ＡＦ２＋ＡＥ２＝ＥＦ２，即ｘ２＋１２＝（７－ｘ）２，解得ｘ＝ ２４ ７，∴ＤＦ＝４－ｘ＝ ４ ７，∴在Ｒｔ△ＣＤＦ中，ＣＦ＝ ＤＦ ２＋ＣＤ槡 ２＝ （ ４ ７） ２＋４槡 ２＝ 槡２０２７ ． 针对训练 １．８３ ２．１２　【解析】方法１：如解图１，∵将△ＡＢＤ沿着ＡＢ翻折得到 △ＡＢＥ，将△ＡＣＤ沿着 ＡＣ翻折得到△ＡＣＦ，延长 ＥＢ，ＦＣ交 于点Ｇ，∴ＡＥ＝ＡＤ＝ＡＦ，ＢＤ＝ＢＥ＝４，ＤＣ＝ＣＦ＝６，∠ＢＡＤ＝ ∠ＢＡＥ，∠ＣＡＤ＝∠ＣＡＦ，∠Ｅ＝∠ＡＤＢ＝９０°，∠Ｆ＝∠ＡＤＣ＝ ９０°，∵∠ＢＡＣ＝４５°，∴∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＤ＋∠ＢＡＥ＋∠ＣＡＤ＋ ∠ＣＡＦ＝９０°，∴四边形 ＡＥＧＦ是矩形，又∵ＡＥ＝ＡＦ，∴四边 形ＡＥＧＦ是正方形，∴ＡＥ＝ＥＧ＝ＧＦ＝ＡＦ，∠Ｇ＝９０°，设 ＡＤ ＝ｘ＝ＡＥ＝ＡＦ，则ＢＧ＝ｘ－４，ＣＧ＝ｘ－６，在Ｒｔ△ＧＢＣ中，ＢＣ２ ＝ＢＧ２＋ＣＧ２，∴（４＋６）２＝（ｘ－４）２＋（ｘ－６）２，∴ｘ＝１２（负 值已舍去），∴ＡＤ＝１２． 图１ 　　 图２ 第２题解图 方法２：如解图２，过点Ｂ作 ＢＨ⊥ＡＣ于点 Ｈ，交 ＡＤ于点 Ｇ， ∵∠ＢＡＣ＝４５°，∴ＡＨ＝ＢＨ，∵∠Ｃ＋∠ＣＡＤ＝∠Ｃ＋∠ＣＢＨ ＝９０°，∴∠ＣＡＤ＝∠ＣＢＨ，又∵∠ＡＨ