模型4 半角模型-【一战成名新中考】2024四川中考数学·培优册

培优册·四川数学 基 本 模 型 篇 模型４　半角模型 模型解读 情形 图示 结论 等腰 直角 三角 形中 含半 角 半角 在角内 半角在 角外 旋转△ＡＢＤ构全等 △ＡＤＥ≌△ＡＦＥ； ∠ＥＣＦ＝９０°； ＢＤ２ ＋ＣＥ２ ＝ＣＦ２ ＋ＣＥ２ ＝ＥＦ２ ＝ＤＥ２ 沿ＡＤ，ＡＥ翻折 ＢＤ＝ＤＦ，ＣＥ＝ＥＦ； ∠ＤＦＥ＝９０°； ＢＤ２＋ＣＥ２＝ＤＦ２＋ＥＦ２＝ＤＥ２ 旋转△ＡＢＤ构全等 △ＡＤＥ≌△ＡＦＥ； ∠ＥＣＦ＝９０°； ＢＤ２ ＋ＣＥ２ ＝ＣＦ２ ＋ＣＥ２ ＝ＥＦ２ ＝ＤＥ２ 沿ＡＤ，ＡＥ翻折 ＢＤ＝ＤＦ，ＣＥ＝ＥＦ； ∠ＤＦＥ＝９０°； ＢＤ２＋ＣＥ２＝ＤＦ２＋ＥＦ２＝ＤＥ２ 正方 形中 含半 角 半角在 角内 旋转△ＡＤＥ构全等 △ＤＥＦ≌△ＤＭＦ； ＤＣ＝ＤＧ； ＥＦ＝ＭＦ＝ＣＭ＋ＣＦ＝ＡＥ＋ＣＦ 半角在 角外 旋转△ＡＤＥ构全等 △ＤＥＦ≌△ＤＧＦ； ＥＦ＝ＧＦ＝ＣＦ－ＣＧ＝ＣＦ－ＡＥ １２０°角中 含半角 ∠ＢＡＣ＝１２０° ＡＤ旋转１２０°构全等 △ＡＤＥ≌△ＡＦＥ ０１ 培优册·四川数学 基 本 模 型 篇 典例精析 例：如图，正方形ＡＢＣＤ的边长为４，点Ｅ，Ｆ分别在ＡＢ，ＡＤ上，若ＣＥ＝５，∠ＥＣＦ＝４５°，则ＣＦ的 长为　　　　． 【思路剖析】直角中含半角，旋转构全等．将△ＣＤＦ绕点Ｃ逆时针旋转９０°得到△ＣＢＧ，则ＤＦ ＝ＢＧ，结合勾股定理计算出ＢＥ，ＡＥ的长，设未知数进行代换，最后在Ｒｔ△ＡＥＦ中利用勾股 定理求解未知数，在Ｒｔ△ＣＤＦ中可得ＣＦ的长． 【答案】　　 【自主解答】 如解图，将△ＣＤＦ绕点Ｃ逆时针旋转９０°得到△ＣＢＧ，则 ＤＦ＝ＢＧ，ＣＦ＝ＣＧ，∠ＣＢＧ＝ ９０°，∠ＤＣＦ＝∠ＢＣＧ，∴Ｅ，Ｂ，Ｇ三点共线．∵∠ＤＣＦ＋∠ＢＣＥ＝４５°，∴∠ＢＣＧ＋∠ＢＣＥ ＝４５°，∴∠ＥＣＦ＝∠ＥＣＧ，又∵ＣＥ＝ＣＥ，∴△ＥＣＦ≌△ＥＣＧ（ＳＡＳ），∴ＥＦ＝ＥＧ．在Ｒｔ△ＢＣＥ中，ＣＥ＝５， ＢＣ＝４，∴ＢＥ＝３，∴ＡＥ＝１．设ＡＦ＝ｘ，则ＤＦ＝４－ｘ＝ＢＧ，∴ＥＧ＝ＢＧ＋ＥＢ＝４－ｘ＋３＝７－ｘ，∴ＥＦ＝７ －ｘ，在 Ｒｔ△ＡＥＦ中，ＡＦ２＋ＡＥ２＝ＥＦ２，即 ｘ２＋１２＝（７－ｘ）２，解得 ｘ＝２４７，∴ＤＦ＝４－ｘ＝ ４ ７，∴在 Ｒｔ△ＣＤＦ中，ＣＦ＝ ＤＦ２＋ＣＤ槡 ２＝ （４７） ２＋４ 槡 ２＝２０槡２７ ． 针对训练 １．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ＝４槡２，Ｄ，Ｅ为ＢＣ上两点，且∠ＤＡＥ＝４５°，若ＢＤ ＝２，则ＣＥ＝　　　　． 第１题图 　　　　 第２题图 ２．【多解法】（２０２１川师大一中九年级开学考改编）如图，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝４５°，ＡＤ⊥ＢＣ于 点Ｄ，若ＢＤ＝４，ＤＣ＝６，则ＡＤ的长为　　　　． ３．如图，在菱形 ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝１２０°，ＡＢ＝４，动点 Ｍ，Ｎ分别在 ＡＤ，ＣＤ上（不含端点），若 ∠ＭＢＮ＝６０°，则四边形ＢＭＤＮ周长的最小值是　４槡３＋４　． 第３题图 　　　　 第４题图 ４．如图，等边三角形ＡＢＣ的边长为２，△ＢＤＣ是等腰三角形，顶角∠ＢＤＣ＝１２０°．以Ｄ为顶点作 一个６０°的角，角的两边分别交 ＡＢ于点 Ｍ，交 ＡＣ于点 Ｎ，连接 ＭＮ，则△ＡＭＮ的周长为 　　　　． １１ 一战成名·四川数学 培 优 册 在△ＣＦＥ和△ＣＤＥ中， ∠６＝∠Ｄ， ∠３＝∠４， ＣＥ＝ＣＥ { ， ∴△ＣＦＥ≌△ＣＤＥ（ＡＡＳ），∴ＣＤ＝ＣＦ． ∵ＢＣ＝ＢＦ＋ＣＦ，∴ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ． ３．４０ ４．５３　【解析】方法１：如解图１，延长ＦＥ交ＡＢ于点Ｄ，设 ＡＤ ＝ｘ，ＣＦ＝ｙ，∵ＡＥ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＥ，∵ＦＤ∥ ＡＣ，∴∠ＡＥＤ＝∠ＣＡＥ，∴∠ＤＡＥ＝∠ＡＥＤ，∴ＤＥ＝ＡＤ＝ｘ，同 理得ＥＦ＝ＣＦ＝ｙ，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理得 ＡＣ＝５，∵ ＤＦ∥ＡＣ，∴△ＢＤＦ∽△ＢＡＣ，∴ＢＤＢＡ＝ ＢＦ ＢＣ＝ ＤＦ ＡＣ，即 ３－ｘ ３ ＝ ４－ｙ ４ ＝ｘ＋ｙ５，解得ｙ＝ ５ ３，∴ＥＦ＝ ５ ３． 图１ 　　 图２ 第４题解图 方法２：如解图２，过点Ｅ分别作△ＡＢＣ三边的垂线，垂足分 别为Ｍ，Ｎ，Ｐ，∵∠ＢＡＣ，∠ＡＣＢ的平分线相交于点 Ｅ，∴ＥＭ ＝ＥＮ＝ＥＰ，∴四边形ＥＮＢＰ是正方形．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾 股定理得ＡＣ＝５．设 ＢＮ＝ＢＰ＝ｘ，则 ＡＰ＝ＡＭ＝３－ｘ，ＣＮ＝ ＣＭ＝４－ｘ，∴ＡＭ＋ＣＭ＝３－ｘ＋４－ｘ＝５，解得ｘ＝１，∴ＥＮ＝ ＢＮ＝１．又∵ＥＦ∥ＡＣ，∴∠ＥＦＮ＝∠ＡＣＢ，又∵∠ＥＮＦ＝ ∠ＡＢＣ＝９０°，∴△ＥＦＮ∽△ＡＣＢ，∴ＥＦＡＣ＝ ＥＮ ＡＢ，即 ＥＦ ５＝ １ ３，解 得ＥＦ＝５３． ５．解：方法１：如解图，过点Ｅ作ＥＦ∥ＢＤ交ＢＣ于点Ｆ， ∴∠ＢＥＦ＝∠ＤＢＥ．