模型3 一线三等角(含弦图)-【一战成名新中考】2024四川中考数学·培优册

培优册·四川数学 基 本 模 型 篇 模型３　一线三等角（含弦图） ［成都２０２２．２６，２０２０．２７］ 模型解读 情形 图示 结论 等角在 线同侧 　 △ＡＣＨ∽△ＢＨＤ （外弦图） △ＡＨＥ≌△ＢＥＦ≌△ＣＦＧ≌△ＤＧＨ 等角在 线异侧 　 △ＡＨＣ∽△ＢＤＨ （内弦图） △ＡＢＥ≌△ＢＣＦ≌△ＣＤＧ≌△ＤＡＨ 典例精析 例：【优质原创】在平行四边形ＡＢＣＤ中，点Ｅ在边ＡＢ上，点Ｆ在边ＢＣ上，且∠ＥＦＤ＝∠Ｂ． （１）如图１，若∠Ｂ＝９０°，ＡＢ＝ＢＦ＝２，ＣＦ＝３２，则ＡＥ＝　　　　． 【思路剖析】题中存在“一线三等角”，再结合 ＡＢ＝ＢＦ＝ＣＤ证明△ＢＦＥ≌△ＣＤＦ，即得 ＡＥ 的值． 【答案】　　 【自主解答】∵∠Ｂ＝∠ＥＦＤ＝９０°，∴∠ＢＥＦ＋∠ＢＦＥ＝９０°，∠ＢＦＥ＋∠ＣＦＤ＝９０°，∴∠ＢＥＦ＝ ∠ＣＦＤ，∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＢ＝ＢＦ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ，∴∠Ｂ＝∠Ｃ＝９０°，∴△ＢＥＦ≌ △ＣＦＤ（ＡＡＳ），∴ＢＥ＝ＣＦ＝３２，∴ＡＥ＝ＡＢ－ＢＥ＝ １ ２． 图１ 　　　　 图２ （２）如图２，连接ＤＥ，若ＤＥ⊥ＥＦ，∠Ｂ＝６０°，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，则ＡＥ＝　　　． 【思路剖析】延长ＢＣ至点Ｇ，连接ＤＧ，使得∠Ｇ＝∠Ｂ＝６０°，则∠Ｂ＝∠ＥＦＤ＝∠Ｇ，从而构 造相似三角形△ＢＥＦ∽△ＧＦＤ，等边三角形ＣＤＧ，根据等量关系列比例式求解． ８ 培优册·四川数学 基 本 模 型 篇 【答案】　　 【自主解答】 如解图，延长 ＢＣ至点 Ｇ，连接 ＤＧ，使得∠Ｇ＝∠Ｂ＝６０°，则∠Ｂ＝∠ＥＦＤ＝∠Ｇ＝６０°，∴∠ＢＦＥ＋ ∠ＢＥＦ＝∠ＢＦＥ＋∠ＤＦＣ＝１２０°，∴∠ＢＥＦ＝∠ＤＦＣ，又∵∠Ｂ＝∠Ｇ，∴△ＢＥＦ∽△ＧＦＤ，∴ＢＥＧＦ＝ ＢＦ ＧＤ＝ ＥＦ ＦＤ．∵∠ＥＦＤ＝６０°，ＤＥ⊥ＥＦ，∴ＤＦ＝２ＥＦ，∴ ＢＥ ＧＦ＝ ＢＦ ＧＤ＝ ＥＦ ＦＤ＝ １ ２．∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＤＣＧ＝∠Ｂ＝６０°，∴△ＤＣＧ是等边三角形，∴ＣＧ＝ＤＧ＝ＣＤ＝ＡＢ＝３，∴ ＢＥ７－ＢＦ＝ ＢＦ ３＝ １ ２，解得ＢＦ＝ ３ ２，ＢＥ＝ １１ ４，∴ＡＥ＝ＡＢ－ＢＥ＝ １ ４． 针对训练 １．如图，沿直线ＤＥ折叠等边三角形纸片ＡＢＣ，使Ａ点落在ＢＣ边上任意一点Ｆ处（不与Ｂ，Ｃ重 合）．已知△ＡＢＣ的边长为９，Ｄ为ＡＢ上一点，ＢＤ＝５，ＢＦ＝２，则ＣＥ＝　　　　． 第１题图 　　　　　 第２题图 ２．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ，过点Ｂ作ＢＥ⊥ＣＥ于点Ｅ，过点Ａ作ＡＤ⊥ＣＥ于 点Ｄ，连接ＢＤ．若ＡＤ＝７，ＣＤ＝３，则ＢＤ＝　　　　． ３．如图，在ＡＢＣＤ中，Ｅ为边ＢＣ上一点，Ｆ为边ＡＢ上一点．若∠ＤＥＦ＝∠Ｂ，ＡＢ＝１０，ＢＥ＝６， 则 ＥＦ ＤＥ的值为　　　　． 第３题图 　　　　 第４题图 ４．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝４５°，Ｄ为△ＡＢＣ外一点，满足∠ＣＢＤ＝９０°，ＢＣ＝ＢＤ．若 Ｓ△ＡＣＤ ＝４．５，则ＡＣ的长为　　　　． ５．（２０２３巴中期末改编）如图，点Ｅ为正方形ＡＢＣＤ内一点，∠ＡＥＢ＝９０°，将Ｒｔ△ＡＢＥ绕点Ｂ按 顺时针方向旋转９０°，得到△ＣＢＥ′（点Ａ的对应点为点Ｃ）．延长ＡＥ交ＣＥ′于点Ｆ，连接ＤＥ．若 ＡＢ＝１５，ＣＦ＝３，则ＤＥ的长为　３槡１７　． 第５题图 ９ 一战成名·四川数学 培 优 册 在△ＣＦＥ和△ＣＤＥ中， ∠６＝∠Ｄ， ∠３＝∠４， ＣＥ＝ＣＥ { ， ∴△ＣＦＥ≌△ＣＤＥ（ＡＡＳ），∴ＣＤ＝ＣＦ． ∵ＢＣ＝ＢＦ＋ＣＦ，∴ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ． ３．４０ ４．５３　【解析】方法１：如解图１，延长ＦＥ交ＡＢ于点Ｄ，设 ＡＤ ＝ｘ，ＣＦ＝ｙ，∵ＡＥ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＥ，∵ＦＤ∥ ＡＣ，∴∠ＡＥＤ＝∠ＣＡＥ，∴∠ＤＡＥ＝∠ＡＥＤ，∴ＤＥ＝ＡＤ＝ｘ，同 理得ＥＦ＝ＣＦ＝ｙ，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理得 ＡＣ＝５，∵ ＤＦ∥ＡＣ，∴△ＢＤＦ∽△ＢＡＣ，∴ＢＤＢＡ＝ ＢＦ ＢＣ＝ ＤＦ ＡＣ，即 ３－ｘ ３ ＝ ４－ｙ ４ ＝ｘ＋ｙ５，解得ｙ＝ ５ ３，∴ＥＦ＝ ５ ３． 图１ 　　 图２ 第４题解图 方法２：如解图２，过点Ｅ分别作△ＡＢＣ三边的垂线，垂足分 别为Ｍ，Ｎ，Ｐ，∵∠ＢＡＣ，∠ＡＣＢ的平分线相交于点 Ｅ，∴ＥＭ ＝ＥＮ＝ＥＰ，∴四边形ＥＮＢＰ是正方形．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾 股定理得ＡＣ＝５．设 ＢＮ＝ＢＰ＝ｘ，则 ＡＰ＝ＡＭ＝３－ｘ，ＣＮ＝ ＣＭ＝４－ｘ，∴ＡＭ＋ＣＭ＝３－ｘ＋４－ｘ＝５，解得ｘ＝１，∴ＥＮ＝ ＢＮ＝１．又∵ＥＦ∥ＡＣ，∴∠ＥＦＮ＝∠ＡＣＢ，又∵∠ＥＮＦ＝ ∠ＡＢＣ＝９０°，∴△ＥＦＮ∽△ＡＣＢ，∴ＥＦＡＣ＝ ＥＮ ＡＢ，即 ＥＦ ５＝ １ ３，解 得ＥＦ＝５３． ５．解