模型2 角平分线模型-【一战成名新中考】2024四川中考数学·培优册

培优册·四川数学 基 本 模 型 篇 模型２　角平分线模型 ［成都２０２１．１２］ 类 型 １　构造全等三角形 模型解读 情形１：角平分线上一点与一边上一点的连线垂直一边（ＰＡ⊥ＯＭ），作另一边垂线（ＰＢ⊥ＯＮ）构全等． 图示（ＯＰ是∠ＭＯＮ的平分线）：如图１． 结论：ＰＡ＝ＰＢ，△ＯＰＡ≌△ＯＰＢ． 图１ 　　 图２ 情形２：角平分线上一点与一边上一点连线，截取等长（ＯＢ＝ＯＡ）构全等． 图示（ＯＰ是∠ＭＯＮ的平分线）：如图２． 结论：△ＯＰＡ≌△ＯＰＢ． 典例精析 例１：【优质原创】在△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ交ＢＣ于点Ｄ． （１）如图１，过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，若∠Ｂ＝３０°，∠Ｃ＝４５°，ＤＥ＝１，则ＢＣ＝　　　　． 图１ 【思路剖析】有角平分线和一边垂直，作另一边垂线构造直角三角形．作ＤＦ⊥ＡＣ于点 Ｆ，则 ＤＦ＝ＤＥ，再在Ｒｔ△ＢＤＥ和Ｒｔ△ＣＤＦ中解直角三角形求解． 【答案】２＋槡２ 【自主解答】如解图１，过点Ｄ作ＤＦ⊥ＡＣ于点 Ｆ，∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴ＤＦ＝ＤＥ＝１，在 Ｒｔ△ＢＤＥ中， ∠Ｂ＝３０°，∴ＢＤ＝２ＤＥ＝２，在Ｒｔ△ＣＤＦ中，∠Ｃ＝４５°，∴ＣＤ＝槡２ＤＦ＝槡２，∴ＢＣ＝ＢＤ＋ＣＤ＝２＋槡２． （２）如图２，若∠Ｃ＝２∠Ｂ，ＡＢ＝５，ＡＣ＝３，则ＣＤ＝　　　　． 图２ 【思路剖析】有角平分线和一边长，截取等长构造全等进行转换．在ＡＢ上截取ＡＥ＝ＡＣ，连接 ＤＥ，则△ＡＤＥ≌△ＡＤＣ，再结合角度关系可得 ＢＥ＝ＤＥ＝ＣＤ．（拓展方法：补短．延长 ＡＣ至点 Ｅ，使得ＡＥ＝ＡＢ，连接ＤＥ，则△ＡＤＥ≌△ＡＤＢ） 【答案】２ ５ 培优册·四川数学 基 本 模 型 篇 【自主解答】 针对训练 １．（２０２１青海改编）如图，在四边形ＡＢＣＤ中，∠ＢＣＤ＝９０°，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，ＡＢ＝８，ＢＤ＝１３，ＢＣ ＝１２，则四边形ＡＢＣＤ的面积为　５０　． 第１题图 ２．如图，ＡＢ∥ＣＤ，ＢＥ平分∠ＡＢＣ，ＣＥ平分∠ＢＣＤ，若Ｅ在ＡＤ上．求证：ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ． 第２题图 ∴△ＡＢＥ≌△ＦＢＥ（ＳＡＳ），∴∠Ａ＝∠５． ∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠Ａ＋∠Ｄ＝１８０°，∴∠５＋∠Ｄ＝１８０°， ∵∠５＋∠６＝１８０°，∴∠６＝∠Ｄ， 在△ＣＦＥ和△ＣＤＥ中， ∠６＝∠Ｄ， ∠３＝∠４， ＣＥ＝ＣＥ { ， ∴△ＣＦＥ≌△ＣＤＥ（ＡＡＳ）， ∴ＣＤ＝ＣＦ． ∵ＢＣ＝ＢＦ＋ＣＦ，∴ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ． 类 型 ２　构造等腰三角形 模型解读 情形１：垂直角平分线（ＡＰ⊥ＯＰ），延长构等腰． 图示（ＯＰ是∠ＭＯＮ的平分线）： 结论：△ＡＯＢ是等腰三角形，即ＯＡ＝ＯＢ． 情形２：作（或存在）一边的平行线（图１）或角平分线的平行线（图２）想等腰． 图示（ＯＰ是∠ＭＯＮ的平分线）： 图１ 　　　　　 图２ 结论：图１：△ＯＡＰ是等腰三角形，即ＡＯ＝ＡＰ；图２：△ＯＡＢ是等腰三角形，即ＯＡ＝ＯＢ． ６ 培优册·四川数学 基 本 模 型 篇 典例精析 例２：如图，在△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ交ＢＣ于点Ｄ．若ＡＢ＝４，ＡＣＣＤ＝ ８ ５，则ＢＤ＝　　　　． 【思路剖析】有角平分线和比例关系，可作平行线构造相似三角形和等腰三角形解答．过点Ｃ 作ＣＥ∥ＡＤ交ＢＡ的延长线于点Ｅ，结合角平分线可得△ＡＣＥ是等腰三角形，即ＡＥ＝ＡＣ，再结 合相似得出ＡＢ与ＢＤ的比例关系，从而得出ＢＤ的长． 【答案】　　 【自主解答】如解图，过点 Ｃ作 ＣＥ∥ＡＤ交 ＢＡ的延长线于点 Ｅ，则∠ＢＡＤ＝∠Ｅ， ∠ＣＡＤ＝∠ＡＣＥ，由题知∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ，∴∠Ｅ＝∠ＡＣＥ，∴ＡＥ＝ＡＣ．又由 ＣＥ∥ＡＤ可 得 ＢＡ ＢＤ＝ ＡＥ ＤＣ＝ ＡＣ ＤＣ＝ ８ ５，∵ＡＢ＝４，∴ＢＤ＝ ５ ２． 针对训练 ３．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，Ｄ为△ＡＢＣ外一点，且∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＣ，连接ＢＤ，Ｅ为 ＢＤ 的中点，若∠ＡＢＣ＝５０°，则∠ＡＣＥ＝　４０　°． 第３题图 　　　　 第４题图 ４．【多解法】如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，∠ＢＡＣ，∠ＡＣＢ的平分线相交于点 Ｅ，过点Ｅ作ＥＦ∥ＡＣ交ＢＣ于点Ｆ，则ＥＦ＝　　　　． ５．【多解法】如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＢＣ＝４，对角线ＢＤ＝２，ＢＥ平分∠ＤＢＣ交ＣＤ于点Ｅ． 若ＤＥ＝１，求ＡＢ的长． 第５题图 解：方法１：如解图，过点Ｅ作ＥＦ∥ＢＤ交ＢＣ于点Ｆ，∴∠ＢＥＦ＝∠ＤＢＥ． ∵ＢＥ平分∠ＤＢＣ，∴∠ＤＢＥ＝∠ＦＢＥ，∴∠ＦＢＥ＝∠ＢＥＦ，∴ＦＢ＝ＦＥ． 设ＦＣ＝ｘ，则ＦＢ＝ＦＥ＝４－ｘ， ∵ＥＦ∥ＢＤ，∴△ＣＥＦ∽△ＣＤＢ，∴ＣＥＣＤ＝ ＣＦ ＣＢ＝ ＥＦ ＤＢ，即 ＣＥ １＋ＣＥ＝ ｘ ４＝ ４－ｘ ２ ， 解得ｘ＝８３，∴ＣＥ＝２， ∴ＣＤ＝ＣＥ＋ＤＥ＝３． ∵四边形ＡＢＣＤ