模型6 “十字模型&模型7 “手拉手模型-【一战成名新中考】2024四川中考数学·培优册

培优册·四川数学 基 本 模 型 篇 模型６　“十字”模型 ［成都２０２１．２４］ 模型解读 图示 正方形 矩形 作法 — 过点 Ｇ作 ＧＨ⊥ＡＢ 于点Ｈ 过点Ｈ作ＨＮ⊥ＢＣ于点Ｎ，过点Ｇ作ＧＭ⊥ＡＢ于点Ｍ 结论 ＤＥ＝ＡＦ， △ＡＤＥ≌△ＢＡＦ ＧＥ＝ＡＦ， △ＧＨＥ≌△ＡＢＦ ＧＥ＝ＨＦ， △ＨＦＮ≌△ＧＥＭ △ＨＦＮ∽△ＧＥＭ， 相似比为矩形邻边长之比 注：菱形对边距离相等，类似正方形，构造全等；平行四边形对边距离不相等，类似矩形，构造 相似． 典例精析 例：如图，点Ｅ，Ｆ，Ｇ分别是正方形ＡＢＣＤ的边ＡＤ，ＢＣ，ＡＢ上的点，连接ＤＧ，ＥＦ，ＧＦ，且ＥＦ＝ＤＧ， ＤＥ＝２ＡＧ，∠ＡＤＧ的度数为α，则∠ＥＦＧ的度数为 （　　） Ａ．α　　　　　　Ｂ．２α　　　　　　Ｃ．４５°－α　　　　　　Ｄ．４５°＋α 【思路剖析】正方形中有交叉相等，想“十字”模型，作垂直构全等；再结合ＤＥ＝２ＡＧ，得出ＡＧ ＝ＦＣ，即得△ＢＦＧ是等腰直角三角形，最后得出∠ＥＦＧ的度数． 【答案】Ｃ 【自主解答】如解图，过点Ｆ作 ＦＨ⊥ＡＤ于点 Ｈ，则 ＦＨ＝ＣＤ＝ＡＤ，在 Ｒｔ△ＦＨＥ和 Ｒｔ△ＤＡＧ中， ＥＦ＝ＧＤ， ＦＨ＝ＤＡ{ ，∴Ｒｔ△ＦＨＥ≌Ｒｔ△ＤＡＧ（ＨＬ），∴ＥＨ＝ＡＧ，∠ＨＦＥ＝∠ＡＤＧ ＝α，∵ＤＥ＝２ＡＧ，∴ＤＥ＝２ＥＨ，即点Ｈ为ＤＥ的中点，∴ＥＨ＝ＤＨ＝ＡＧ＝ＣＦ，∴ＡＢ－ＡＧ＝ＢＣ－ＣＦ，即 ＢＧ＝ＢＦ，∴△ＢＦＧ为等腰直角三角形，∠ＢＦＧ＝４５°，∴∠ＥＦＧ＝９０°－∠ＢＦＧ－∠ＨＦＥ＝９０°－４５°－α ＝４５°－α． 针对训练 １．如图，在正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别在ＣＤ和ＡＤ边上，且ＣＥ＝ＤＦ，ＡＥ与ＢＦ相交于点Ｏ， 下列结论：①ＡＥ＝ＢＦ；②ＡＥ⊥ＢＦ；③ＡＯ＝ＥＯ；④Ｓ△ＡＯＢ＝Ｓ四边形ＤＥＯＦ．其中正确的有 （Ｂ ） Ａ．４个 　　　Ｂ．３个 　　　Ｃ．２个 　　　Ｄ．１个 第１题图 　　　　　　 第２题图 　　　　　　 第３题图 ２．（２０２２绵阳改编）如图，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是矩形ＡＢＣＤ四条边上的点，ＥＦ⊥ＧＨ，ＡＢ＝４，ＢＣ＝６． 若ＡＧ＝ＣＨ＝１，则ＥＦ的长为　　　　． ３．如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∶ＡＢ＝２∶３，点Ｅ，Ｆ，Ｇ分别在边ＡＢ，ＡＤ，ＢＣ上，连接ＤＥ，ＦＧ 相交于点Ｏ，∠ＤＯＧ＋∠Ｃ＝１８０°，若ＯＦ＝ＯＧ＝３，则ＤＥ＝　　　　． ４１ 培优册·四川数学 基 本 模 型 篇 模型７　“手拉手”模型 ［成都２０２２．２６（３）］ 类 型 １　“手拉手”全等 模型解读 情形 图示 结论 △ＡＢＣ和 △ＡＤＥ均为等腰 三角形，且∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ △ＡＢＤ≌△ＡＣＥ；ＢＤ＝ＣＥ； ＢＤ与 ＣＥ之间夹的较小的角 等于∠ＢＡＣ 四边 形 ＡＢＣＤ 和 四 边 形 ＡＥＦＧ均为正方形 △ＡＢＧ≌△ＡＤＥ； ＢＧ＝ＤＥ； ＢＧ⊥ＤＥ 典例精析 例１：如图，在四边形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ＝４５°，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ．若ＡＤ＝２，ＣＤ＝３， 则ＢＤ＝　　　　． 【思路剖析】有两边相等，旋转构造“手拉手”模型，将ＢＤ的长进行转化；有４５°角，再构造 一个４５°角，得到直角三角形解答．即将ＣＤ绕点Ｃ顺时针旋转９０°至ＣＥ，连接ＡＥ，ＤＥ，则 ＡＥ＝ＢＤ，且△ＣＤＥ是等腰直角三角形． 【答案】槡２２ 【自主解答】如解图，将 ＣＤ绕点 Ｃ顺时针旋转 ９０°至 ＣＥ，连接 ＡＥ，ＤＥ，则 ∠ＤＣＥ＝∠ＡＣＢ＝９０°，∴∠ＡＣＥ＝∠ＡＣＤ＋∠ＤＣＥ＝∠ＡＣＤ＋∠ＢＣＡ＝ ∠ＢＣＤ，∵ＢＣ＝ＡＣ，ＣＤ＝ＣＥ＝３，∴△ＢＣＤ≌△ＡＣＥ，∴ＢＤ＝ＡＥ，由旋转可知△ＣＤＥ为等腰直角三角 形，∴∠ＣＤＥ＝４５°，ＤＥ＝槡２ＣＤ＝３槡２，∴∠ＡＤＥ＝∠ＡＤＣ＋∠ＣＤＥ＝９０°，∴ＡＥ＝ ＡＤ ２＋ＤＥ槡 ２ ＝ ２２＋（３槡２）槡 ２ ＝槡２２，∴ＢＤ＝槡２２． 针对训练 １．【优质原创】如图，△ＡＢＣ和△ＡＤＥ都是等腰直角三角形，即 ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ，∠ＢＡＣ＝ ∠ＤＡＥ＝９０°，Ｂ，Ｃ，Ｄ三点在同一条直线上，连接ＣＥ．若ＡＢ＝槡２，ＡＤ＝２，则ＣＤ＝　槡３－１　． 第１题图 　　　 第２题图 　　　 第３题图 ２．（北师九上 Ｐ２５习题５题改编）如图，四边形 ＡＢＣＤ和四边形 ＣＥＦＧ都是正方形，连接 ＢＤ， ＢＧ，ＤＥ，若ＢＤ＝ＢＧ，ＢＤ∥ＣＧ，则∠ＢＤＥ＝　６０　°． ３．（２０２１广元改编）如图，边长为１的等边三角形ＡＢＣ中，ＢＦ是ＡＣ边上的中线，点Ｄ是线段ＢＦ上 的动点，连接ＡＤ，在ＡＤ的右侧作等边三角形ＡＤＥ，连接ＢＥ，则ＡＥ＋ＢＥ的最小值是　　　　． ５１ 培优册·四川数学 基 本 模 型 篇 类 型 ２　“手拉手”相似 模型解读 情形 图示 结论 在 △ＡＢＣ和 △ＡＤＥ