重难点13圆锥曲线综合（定点、定值、最值、范围、存在性问题）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）

重难点13圆锥曲线综合（定点、定值、最值、范围、存在性问题） 【目录】 考法1：定点、定值问题 考法2：最值、范围问题 考法3：存在性问题 二、命题规律与备考策略 圆锥曲线综合是高考必考的解答题，难度较大．考查圆锥曲线标准方程的求解，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查定值、定直线、面积最值、存在性与恒成立等问题．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想． 三、题型方法 考法1：定点、定值问题 1.求解直线或曲线过定点问题的基本思路 （1）把直线或曲线方程中的变量 , 当作常数看待,把方程一端化为零，既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于 , 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. （2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式 ，则直线必过定点 ;若得到了直线方程的斜截式 ，则直线必过定点 . （3）从特殊情况入手，先探究定点，再证明该定点与变量无关. 2.求解定值问题的常用方法 （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 一．解答题（共11小题） 1．（2023•武功县校级模拟）已知抛物线的焦点到准线的距离与双曲线的离心率相等． （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）若点在抛物线上，过作抛物线的两弦与，若两弦所在直线的斜率之积为，求证：直线过定点． 2．（2023•市中区校级一模）在平面直角坐标系中，点到点的距离比到轴的距离大1，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，交曲线于，两点，若为定值，求实数的值． 3．（2024•昌乐县校级模拟）给定椭圆，圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“卫星圆”．若椭圆的离心率，点在上． 求椭圆的方程和其“卫星圆”方程； （Ⅱ）点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点作直线，，使得，与椭圆都只有一个交点，且，，分别交其“卫星圆”于点，，证明：弦长为定值． 4．（2023•蕉城区校级模拟）在平面直角坐标系中，圆，，是圆上的一个动点，线段的垂直平分线与直线交于点．记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过点作与轴不垂直的任意直线交曲线于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，求证：为定值． 5．（2023•毕节市模拟）在圆上任取一点，过点作轴的垂线，垂足为，点满足．当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设曲线与轴正半轴交点为，不过点的直线与曲线交于，两点，若，试探究直线是否过定点．若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由． 6．（2023•江西模拟）已知过曲线上一点，作椭圆的切线，则切线的方程为．若为椭圆上的动点，过作的切线交圆于，，过，分别作的切线，，直线，交于点． （1）求动点的轨迹的方程； （2）已知为定直线上一动点，过的动直线与轨迹交于两个不同点、，在线段 上取一点，满足，试证明动点的轨迹过定点． 7．（2023•华龙区校级模拟）如图，已知椭圆，点是其下顶点，过点的直线交椭圆于另一点点在轴下方），且线段的中点在直线上． （1）求直线的方程； （2）若点为椭圆上异于、的动点，且直线，分别交直线于点、，证明：为定值． 8．（2023•梅州一模）已知动圆经过定点，且与圆内切． （1）求动圆圆心的轨迹的方程； （2）设轨迹与轴从左到右的交点为点，，点为轨迹上异于，的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点．直线、的斜率分别为、． 求证：为定值； 证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标． 9．（2023•桃城区校级模拟）已知直线和直线，过动点作平行的直线交于点，过动点作平行的直线交于点，且四边形为原点）的面积为4． （1）求动点的轨迹方程； （2）当动点的轨迹的焦点在轴时，记轨迹为曲线，若过点的直线与曲线交于，两点，且与轴交于点，若，求证：为定值． 10．（2023•驻马店二模）已知直线轴，垂足为轴负半轴上的点，点关于坐标原点的对称点为，且，直线，垂足为，线段的垂直平分线与直线交于点．记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程． （2）已知点，不过点的直线与曲线交于，两点，以线段为直径的圆恒过点，试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 11．（2023•枣强县校级模拟）已知半椭圆和半圆组成曲线．如图所示，半椭圆内切于矩形，与轴交于点，点是半圆上异于，的任意一点．当点位于点处时，的面积最大． （1）求曲线的方程； （2）连，分别交于点，，求证：为定值． 考法2：最值、范围问题 圆锥曲线中最值与范围的求解方法 几何法 若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决.