重难点10圆锥曲线综合（定点、定值、最值、范围、存在性问题）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用）

重难点10圆锥曲线综合（定点、定值、最值、范围、存在性问题） 【目录】 考法1：定点、定值问题 考法2：最值、范围问题 考法3：存在性问题 二、命题规律与备考策略 圆锥曲线综合是高考必考的解答题，难度较大．考查圆锥曲线标准方程的求解，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查定值、定直线、面积最值、存在性与恒成立等问题．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想． 三、题型方法 考法1：定点、定值问题 1.求解直线或曲线过定点问题的基本思路 （1）把直线或曲线方程中的变量 , 当作常数看待,把方程一端化为零，既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于 , 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. （2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式 ，则直线必过定点 ;若得到了直线方程的斜截式 ，则直线必过定点 . （3）从特殊情况入手，先探究定点，再证明该定点与变量无关. 2.求解定值问题的常用方法 （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 一．解答题（共10小题） 1．（2023秋•浦东新区校级期末）我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”． （1）设椭圆与双曲线有相同的焦点、，是椭圆与双曲线的公共点，且△的周长为6，求椭圆的方程； （2）如图，已知“盾圆” 的方程为设“盾圆” 上的任意一点到的距离为，到直线的距离为，求证：为定值． 2．（2023秋•普陀区校级期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线．是平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且满足． （1）求点的轨迹方程； （2）记点的轨迹为曲线，过点作直线，与曲线交于、两点，求证：为定值． 3．（2023春•上海期中）焦距为的椭圆满足、、成等差数列，称为“等差椭圆”． （1）求的离心率； （2）过作直线与有且只有一个公共点，求此直线的斜率的值； （3）设点为椭圆的右顶点，为椭圆上异于点的任一点，为关于原点的对称点也异于，直线、分别与轴交于、两点，判断以线段为直径的圆是否过定点？说明理由． 4．（2023秋•杨浦区期末）已知双曲线，是双曲线上一点． （1）若椭圆以双曲线的顶点为焦点，长轴长为，求椭圆的标准方程； （2）设是第一象限中双曲线渐近线上一点，是双曲线上一点，且，求的面积为坐标原点）； （3）当直线（常数与双曲线的左支交于、两点时，分别记直线、的斜率为、，求证：为定值． 5．（2023春•奉贤区校级期中）已知动圆经过定点，且与圆内切． （1）求动圆圆心的轨迹的方程； （2）设轨迹与轴从左到右的交点为点，，点为轨迹上异于，的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点．直线、的斜率分别为、． 求证：为定值； 证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标． 6．（2023春•青浦区期末）已知抛物线的焦点为，准线为． （1）若为双曲线的一个焦点，求双曲线的方程； （2）设与轴的交点为，点在第一象限，且在上，若，求直线的方程； （3）经过点且斜率为的直线与相交于、两点，为坐标原点，直线、分别与相交于点、．试探究：以线段为直径的圆是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由． 7．（2023秋•宝山区校级期中）曲线，第一象限内点在上，的纵坐标为． （1）若到准线距离为3，求； （2）设为坐标原点，，，为上异于的两点，且直线与斜率乘积为4．证明：直线过定点； （3）直线，令是第一象限上异于的一点，直线交于，是在上的投影，若点满足“对于任意都有”，求的取值范围． 8．（2023•徐汇区二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于、两点点在点的上方），与轴交于点． （1）当时，点为椭圆上除顶点外任一点，求△的周长； （2）当且直线过点时，设，，求证：为定值，并求出该值； （3）若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值；并求此时面积的最大值． 9．（2023春•浦东新区校级月考）已知平面曲线满足：它上面任意一定到的距离比到直线的距离小1． （1）求曲线的方程； （2）为直线上的动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为、，证明：直线过定点； （3）在（2）的条件下，以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积． 10．（2023春•普陀区校级期中）17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示．四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形．带槽杆长为，点，间的距离为2，转动杆一周的过程中始终有．点在线段的延长线上，且． （1）建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于，两点．记直线，的斜率为，，证明