2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，是的直径，C是圆上一点，过C的直线与的延长线交于点D，于E，平分．    (1)求证：是的切线； (2)若，求． 2．如图Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，点E在AB上，以AE为直径的⊙O经过点D． (1)求证：直线BC是⊙O的切线． (2)若AC=6，∠B=30°，求图中阴影部分的面积． 3．在⊙O中，直径弦于点，点是弧上一点，点在的延长线上，． （1）求证：是⊙O的切线； （2）连接，若∥，，，求的长． 4．如图，是的直径，延长至点，，，点是上一点，延长交于点，连结、，且． （1）求证：是的切线． （2）求的长度．（结果保留） 5．如图，中，，点O在边上，以点O为圆心，为半径的圆交边于点D，交边于点E，且．    (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径． 6．如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．    (1)求证：直线是的切线； (2)求证：； 7．如图，在中，，以为直径的与相交于点，过点作，交于点．    (1)求证：是的切线； (2)若的直径为，，求的长． 8．如图，为的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦．    (1)求证：是的切线； (2)直线与交于点，且，，求的半径． 9．如图，中，，过B、C两点，且是的切线，连接交劣弧于点P．    (1)证明：是的切线； (2)若，，求的半径． 10．如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A，D的分别交，于点E，F．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 11．如图，是的直径，点是上的一点，与的延长线交于点，已知：，．    (1)求证：是的切线； (2)过点作于点，若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 12．如图，、分别是的直径和弦，于点．过点作的切线与的延长线交于点，、的延长线交于点．      (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 13．如图1，A、B是上两点，C是的中点，，的半径为4． (1)①图中的阴影部分面积为______；②求证：四边形是菱形： (2)如图2，点P是线段上一动点，以为半径作小圆，连接，当P运动到什么位置时，是小圆的切线，并说明理由： (3)如图3，延长交于D，过C作垂直交于E，连接交于F，取线段中点G，连接并延长交于H，连接，求的长． 14．如图，是的切线，是切点，是直径，是弦，连接、，与相交于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 15．已知是的内接三角形，的平分线与相交于点D，连接．    (1)如图1，过点D作直线，求证：是的切线； (2)如图2，设弦，延长后交外一点F，过F作的平行线交的延长线于点G，过G作的切线（切点为H），求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）连接，则，    ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴， 解得， ∴， ∴的长是 2．(1）证明：连接OD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD=∠CAD， ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠OAD， ∴∠ODA=∠CAD， ∴OD∥AC， ∵∠C=90°， ∴∠ODB=90°， ∴OD⊥BC， ∴直线BC是⊙O的切线； （2）解：由∠B=30°，∠C=90°，∠ODB=90°， 得：AB=2AC=12，OB=2OD，∠AOD=120°， ∠DAC=30°， ∵OA=OD， ∴OB=2OA， ∴OA=OD=4， 由∠DAC=30°，得DC=2， ∴S阴影=S扇形OAD-S△OAD = =π-4． 3．（1）证明：连接，如图1所示： ， ，            ，．         ，， ，              即， ， 是的切线．                 （2）解：连接，如图2所示： ，， 为的直径． ， ， ．                ，， ，， ，           由（1）知．设，则． 在和中，由勾股定理，得：， 即， 解得：， ． 4．1）如图，连结． ∵是的直径， ∴． ∵，， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵，， ∴，，． ∴． ∴． ∴是的切线． （2）∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 5．（1）证明：如图1，连接，，    在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：如图2，连接，    ∵， ∴是的切线， ∵是的切线，，， ∴，， ∴， 设的半径为r，则，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径为． 6．(1）解：证明：连接，    ， ， 平分， ， ，